⚛

물리학 강의 노트

유도완성

포물선 운동의 유도 (Projectile Motion Derivation)

1. 문제 설정

균일한 중력장 g=−gz^\mathbf{g} = -g\hat{\mathbf{z}}에서 질점의 운동을 유도한다. 초기 위치를 원점, 초기 속력을 v0v_0, 발사각을 수평면으로부터 θ\theta라 하자.

2. 공기 저항이 없는 경우

유도이상적 포물선 운동

운동 방정식은:

mr¨=−mgz^m\ddot{\mathbf{r}} = -mg\hat{\mathbf{z}}

성분별로:

x¨=0,z¨=−g\ddot{x} = 0, \qquad \ddot{z} = -g

초기 조건 x(0)=z(0)=0x(0) = z(0) = 0, x˙(0)=v0cos⁡θ\dot{x}(0) = v_0\cos\theta, z˙(0)=v0sin⁡θ\dot{z}(0) = v_0\sin\theta를 적용하여 적분하면:

1단계: 속도

x˙(t)=v0cos⁡θ,z˙(t)=v0sin⁡θ−gt\dot{x}(t) = v_0\cos\theta, \qquad \dot{z}(t) = v_0\sin\theta - gt

2단계: 위치

x(t)=(v0cos⁡θ) t,z(t)=(v0sin⁡θ) t−12gt2x(t) = (v_0\cos\theta)\,t, \qquad z(t) = (v_0\sin\theta)\,t - \frac{1}{2}gt^2

3단계: 궤적 방정식

t=x/(v0cos⁡θ)t = x/(v_0\cos\theta)를 z(t)z(t)에 대입하면:

z=xtan⁡θ−g2v02cos⁡2θ x2\boxed{z = x\tan\theta - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}\,x^2}

이는 아래로 볼록한 포물선 방정식이다.

■

3. 주요 물리량의 유도

유도도달 거리와 최대 높이

최대 높이 HH: z˙=0\dot{z} = 0인 시각 tHt_H에서:

tH=v0sin⁡θgt_H = \frac{v_0\sin\theta}{g}H=v02sin⁡2θ2g\boxed{H = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}}

체공 시간 TT: z(T)=0z(T) = 0 (평지에서)에서:

T=2v0sin⁡θg=2tHT = \frac{2v_0\sin\theta}{g} = 2t_H

수평 도달 거리 RR:

R=v0cos⁡θ⋅T=v02sin⁡2θgR = v_0\cos\theta \cdot T = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}R=v02sin⁡2θg\boxed{R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}}

RR은 θ=45°\theta = 45°일 때 최대값 Rmax⁡=v02/gR_{\max} = v_0^2/g를 가진다. 또한 θ\theta와 90°−θ90° - \theta에서 같은 도달 거리를 가진다.

■

4. 비탈면 위의 포사체

예제경사면 위의 포물선 운동

경사각 α\alpha인 비탈면에서 비탈면을 따라 올려쏘는 경우, 비탈면 좌표계 (x′,z′)(x', z')에서 유효 중력 성분은:

gx′=−gsin⁡α,gz′=−gcos⁡αg_{x'} = -g\sin\alpha, \qquad g_{z'} = -g\cos\alpha

발사각을 비탈면으로부터 β\beta라 하면:

x′(t)=v0cos⁡β⋅t−12gsin⁡α⋅t2x'(t) = v_0\cos\beta \cdot t - \frac{1}{2}g\sin\alpha \cdot t^2z′(t)=v0sin⁡β⋅t−12gcos⁡α⋅t2z'(t) = v_0\sin\beta \cdot t - \frac{1}{2}g\cos\alpha \cdot t^2

비탈면 도달 거리는 z′(T′)=0z'(T') = 0에서 T′=2v0sin⁡βgcos⁡αT' = \frac{2v_0\sin\beta}{g\cos\alpha}이고:

R′=2v02sin⁡βgcos⁡2α(cos⁡βcos⁡α−sin⁡βsin⁡α)=2v02sin⁡βcos⁡(α+β)gcos⁡2αR' = \frac{2v_0^2\sin\beta}{g\cos^2\alpha}(\cos\beta\cos\alpha - \sin\beta\sin\alpha) = \frac{2v_0^2\sin\beta\cos(\alpha + \beta)}{g\cos^2\alpha}

dR′dβ=0\frac{dR'}{d\beta} = 0에서 최적 발사각은 βopt=π4−α2\beta_{\text{opt}} = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}이다.

5. 공기 저항을 고려한 포물선 운동

유도선형 저항이 있는 포사체 운동

선형 저항력 Fdrag=−bv\mathbf{F}_{\text{drag}} = -b\mathbf{v}를 포함하면 운동 방정식은:

mv˙x=−bvx,mv˙z=−mg−bvzm\dot{v}_x = -bv_x, \qquad m\dot{v}_z = -mg - bv_z

γ=b/m\gamma = b/m으로 정의하면:

수평 방향:

v˙x=−γvx⟹vx(t)=v0cos⁡θ⋅e−γt\dot{v}_x = -\gamma v_x \quad \Longrightarrow \quad v_x(t) = v_0\cos\theta \cdot e^{-\gamma t}x(t)=v0cos⁡θγ(1−e−γt)x(t) = \frac{v_0\cos\theta}{\gamma}\left(1 - e^{-\gamma t}\right)

수직 방향:

v˙z=−g−γvz\dot{v}_z = -g - \gamma v_z

이 1차 선형 ODE의 해는:

vz(t)=(v0sin⁡θ+gγ)e−γt−gγv_z(t) = \left(v_0\sin\theta + \frac{g}{\gamma}\right)e^{-\gamma t} - \frac{g}{\gamma}z(t)=−gγt+1γ(v0sin⁡θ+gγ)(1−e−γt)z(t) = -\frac{g}{\gamma}t + \frac{1}{\gamma}\left(v_0\sin\theta + \frac{g}{\gamma}\right)\left(1 - e^{-\gamma t}\right)

γ→0\gamma \to 0의 극한에서 이상적 포물선 운동이 복원됨을 확인할 수 있다. e−γt≈1−γt+12γ2t2−⋯e^{-\gamma t} \approx 1 - \gamma t + \frac{1}{2}\gamma^2 t^2 - \cdots를 대입하면:

x(t)≈v0cos⁡θ⋅t−12γv0cos⁡θ⋅t2+⋯x(t) \approx v_0\cos\theta \cdot t - \frac{1}{2}\gamma v_0\cos\theta \cdot t^2 + \cdotsz(t)≈v0sin⁡θ⋅t−12gt2+⋯z(t) \approx v_0\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 + \cdots
■

6. 포락선 (안전 포물선)

유도포락선 유도

발사 속력 v0v_0가 일정하고 발사각 θ\theta를 변화시킬 때, 도달 가능한 영역의 경계, 즉 포락선(envelope)을 구하자.

궤적 방정식을 tan⁡θ=u\tan\theta = u로 치환하면:

z=ux−g2v02(1+u2)x2z = ux - \frac{g}{2v_0^2}(1 + u^2)x^2

이를 uu에 대한 이차방정식으로 정리:

gx22v02u2−xu+(gx22v02+z)=0\frac{gx^2}{2v_0^2}u^2 - xu + \left(\frac{gx^2}{2v_0^2} + z\right) = 0

포락선은 이 방정식의 판별식이 영인 조건에서 결정된다:

D=x2−4⋅gx22v02⋅(gx22v02+z)=0D = x^2 - 4 \cdot \frac{gx^2}{2v_0^2} \cdot \left(\frac{gx^2}{2v_0^2} + z\right) = 0

정리하면:

z=v022g−g2v02x2\boxed{z = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{g}{2v_0^2}x^2}

이는 아래로 볼록한 포물선이며, 꼭짓점의 높이는 Hmax⁡=v022gH_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}이다. 이 곡선 내부의 점에만 포사체가 도달할 수 있으며, 이 때문에 **안전 포물선(parabola of safety)**이라 불린다.

■
참고에너지 관점에서의 해석

포락선의 방정식 z=v022g−g2v02x2z = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{g}{2v_0^2}x^2에서 v022g\frac{v_0^2}{2g}은 초기 운동 에너지를 모두 위치 에너지로 변환했을 때의 최대 높이이다. 포락선은 에너지 보존에 의해 도달 가능한 영역의 한계를 기하학적으로 나타낸다.