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물리학 강의 노트

법칙완성

뉴턴의 제3법칙 (Newton's Third Law)

1. 법칙의 정식화

법칙2.1뉴턴의 제3법칙 (작용-반작용의 법칙)

두 물체 ii와 jj 사이의 상호작용에서, jj가 ii에 가하는 힘 Fij\mathbf{F}_{ij}와 ii가 jj에 가하는 힘 Fji\mathbf{F}_{ji}는 항상 크기가 같고 방향이 반대이다:

Fij=−Fji\boxed{\mathbf{F}_{ij} = -\mathbf{F}_{ji}}

이 법칙은 힘이 항상 **쌍(pair)**으로 나타남을 의미한다. 작용-반작용 쌍은 반드시 서로 다른 두 물체에 작용한다.

2. 강한 형태와 약한 형태

정의2.1제3법칙의 강한 형태

**강한 형태(strong form)**에서는 작용-반작용 힘 쌍이 두 물체를 잇는 직선 위에 놓인다:

Fij=−Fji,Fij∥(ri−rj)\mathbf{F}_{ij} = -\mathbf{F}_{ji}, \qquad \mathbf{F}_{ij} \parallel (\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)

즉, 힘이 중심력(central force)의 형태를 가진다:

Fij=f(∣ri−rj∣)(r^i−r^j)\mathbf{F}_{ij} = f(|\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j|)(\hat{\mathbf{r}}_i - \hat{\mathbf{r}}_j)

강한 형태가 성립하면 각운동량 보존이 보장된다. 중력, 쿨롱 전기력 등이 이에 해당한다.

정의2.2제3법칙의 약한 형태

**약한 형태(weak form)**에서는 힘 쌍이 크기가 같고 방향이 반대이지만, 반드시 두 물체를 잇는 직선 위에 있지 않을 수 있다:

Fij=−Fji\mathbf{F}_{ij} = -\mathbf{F}_{ji}

이 경우 운동량 보존은 성립하지만, 각운동량 보존이 반드시 보장되지는 않는다.

3. 운동량 보존과의 관계

법칙2.2운동량 보존의 도출

NN개의 입자 계에서 제2법칙을 적용하면:

p˙i=Fi(ext)+∑j≠iFij\dot{\mathbf{p}}_i = \mathbf{F}_i^{(\text{ext})} + \sum_{j \neq i} \mathbf{F}_{ij}

모든 입자에 대해 합산하면:

dPdt=∑ip˙i=∑iFi(ext)+∑i∑j≠iFij\frac{d\mathbf{P}}{dt} = \sum_i \dot{\mathbf{p}}_i = \sum_i \mathbf{F}_i^{(\text{ext})} + \sum_i \sum_{j \neq i} \mathbf{F}_{ij}

제3법칙에 의해 Fij=−Fji\mathbf{F}_{ij} = -\mathbf{F}_{ji}이므로 내력의 총합이 소거된다:

∑i∑j≠iFij=∑i<j(Fij+Fji)=0\sum_i \sum_{j \neq i} \mathbf{F}_{ij} = \sum_{i < j} (\mathbf{F}_{ij} + \mathbf{F}_{ji}) = 0

따라서:

dPdt=Ftotal(ext)\frac{d\mathbf{P}}{dt} = \mathbf{F}^{(\text{ext})}_{\text{total}}

외력이 영이면 전체 운동량이 보존된다: P=∑imivi=const.\mathbf{P} = \sum_i m_i \mathbf{v}_i = \text{const.}

4. 각운동량 보존과의 관계

정의2.3각운동량과 토크

입자의 원점에 대한 각운동량과 토크는:

Li=ri×pi,τi=ri×Fi\mathbf{L}_i = \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i, \qquad \boldsymbol{\tau}_i = \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i

제3법칙의 강한 형태가 성립하면, 내력에 의한 총 토크는:

∑i<j(ri×Fij+rj×Fji)=∑i<j(ri−rj)×Fij=0\sum_{i<j} (\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{ij} + \mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{ji}) = \sum_{i<j} (\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j) \times \mathbf{F}_{ij} = 0

마지막 등호는 Fij∥(ri−rj)\mathbf{F}_{ij} \parallel (\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)이면 외적이 영이 되기 때문이다. 따라서 외부 토크가 영이면:

dLdt=τ(ext)=0⟹L=const.\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \boldsymbol{\tau}^{(\text{ext})} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{L} = \text{const.}
참고전자기학에서의 제3법칙 위반

움직이는 전하 사이의 자기력은 제3법칙의 강한 형태를 만족시키지 않을 수 있다. 두 점전하 q1q_1, q2q_2가 각각 v1\mathbf{v}_1, v2\mathbf{v}_2로 운동할 때:

F12=q1v1×B2≠−q2v2×B1=−F21\mathbf{F}_{12} = q_1 \mathbf{v}_1 \times \mathbf{B}_2 \neq -q_2 \mathbf{v}_2 \times \mathbf{B}_1 = -\mathbf{F}_{21}

일반적으로 성립하지 않는다. 이 경우 역학적 운동량만으로는 보존 법칙이 깨지며, 전자기장 자체의 운동량을 포함해야 한다:

pfield=ϵ0∫(E×B) d3r\mathbf{p}_{\text{field}} = \epsilon_0 \int (\mathbf{E} \times \mathbf{B})\,d^3r

전체 운동량 Ptotal=Pmech+pfield\mathbf{P}_{\text{total}} = \mathbf{P}_{\text{mech}} + \mathbf{p}_{\text{field}}는 보존된다.

5. 응용: 두 물체 문제의 환산

예제두 물체의 충돌

질량 m1m_1, m2m_2인 두 물체가 상호작용할 때, 제3법칙에 의해:

m1r¨1=F12,m2r¨2=F21=−F12m_1 \ddot{\mathbf{r}}_1 = \mathbf{F}_{12}, \qquad m_2 \ddot{\mathbf{r}}_2 = \mathbf{F}_{21} = -\mathbf{F}_{12}

질량 중심 좌표 R\mathbf{R}과 상대 좌표 r\mathbf{r}을 도입하면:

R=m1r1+m2r2m1+m2,r=r1−r2\mathbf{R} = \frac{m_1\mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2}{m_1 + m_2}, \qquad \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2

질량 중심은 등속 운동하고:

MR¨=0(M=m1+m2)M\ddot{\mathbf{R}} = 0 \quad (M = m_1 + m_2)

상대 운동은 환산 질량 μ\mu에 대한 1체 문제로 환산된다:

μr¨=F12(r),μ=m1m2m1+m2\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{r}), \qquad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}

이러한 환산은 중심력 문제와 케플러 문제에서 핵심적인 역할을 한다.

6. 구속력과 제3법칙

참고구속력에서의 제3법칙

접촉면에서의 수직 항력, 장력 등의 구속력(constraint force)도 제3법칙을 만족한다. 수평면 위의 물체가 받는 수직 항력 N\mathbf{N}은 물체가 면에 가하는 힘의 반작용이다.

그러나 주의할 점은 수직 항력과 중력은 작용-반작용 쌍이 아니다. 물체에 작용하는 중력 mgm\mathbf{g}의 반작용은 물체가 지구를 끌어당기는 중력 −mg-m\mathbf{g}이며, 이는 지구에 작용한다. 수직 항력의 반작용은 물체가 면에 가하는 접촉력이다.

이 구분은 자유 물체 도표(free body diagram)를 올바르게 그리는 데 필수적이다.