일과 운동에너지 (Work and Kinetic Energy)

1. 일의 정의

정의2.1일 (Work)

힘 $\mathbf{F}$ 가 물체를 경로 $\mathcal{C}$ 를 따라 이동시킬 때 한 일은 선적분으로 정의된다:

W = \int_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}\, dt

일의 SI 단위는 줄(J)이며, $1\,\text{J} = 1\,\text{N} \cdot \text{m} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2$ 이다.

일률(power)은 일의 시간 변화율이다:

P = \frac{dW}{dt} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}

일은 스칼라양이지만, 부호를 가진다. 힘과 변위의 방향이 같으면 양의 일( $W > 0$ ), 반대이면 음의 일( $W < 0$ )을 한다.

2. 운동에너지

정의2.2운동에너지

질량 $m$ , 속력 $v$ 인 질점의 운동에너지(kinetic energy)는:

T = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}

$N$ 개의 입자로 구성된 계의 운동에너지는:

T = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2}m_i v_i^2

이를 질량 중심 운동과 상대 운동으로 분리하면 (쾨니히 정리, König's theorem):

T = \frac{1}{2}M V_{\text{cm}}^2 + \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2}m_i v_i'^2

여기서 $\mathbf{v}_i' = \mathbf{v}_i - \mathbf{V}_{\text{cm}}$ 은 질량 중심에 대한 상대 속도이다.

3. 일-에너지 정리

법칙2.1일-에너지 정리

질점에 작용하는 알짜힘이 한 총 일은 운동에너지의 변화와 같다:

W_{\text{net}} = \int_{\mathcal{C}} \mathbf{F}_{\text{net}} \cdot d\mathbf{r} = \Delta T = T_f - T_i

\boxed{W_{\text{net}} = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2}

이 정리의 증명은 뉴턴의 제2법칙에서 직접 따른다:

\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = m\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v}\,dt = m\mathbf{v} \cdot d\mathbf{v} = d\left(\frac{1}{2}mv^2\right)

4. 보존력과 비보존력

정의2.3보존력

보존력(conservative force)은 다음 동치 조건 중 하나를 만족하는 힘이다:

한 일이 경로에 무관하고 시점과 종점에만 의존한다
닫힌 경로에서의 일이 항상 영이다: $\oint \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0$
회전(curl)이 영이다: $\nabla \times \mathbf{F} = 0$
스칼라 퍼텐셜 $V$ 가 존재하여 $\mathbf{F} = -\nabla V$ 로 쓸 수 있다

조건 2와 3은 스토크스 정리에 의해 동치이다:

\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{\mathcal{S}} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A}

예제보존력과 비보존력의 판별

중력 $\mathbf{F} = -mg\hat{\mathbf{z}}$ :

\nabla \times \mathbf{F} = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{보존력}, \quad V = mgz

스프링 힘 $\mathbf{F} = -k\mathbf{r}$ :

\nabla \times \mathbf{F} = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{보존력}, \quad V = \frac{1}{2}kr^2

마찰력 $\mathbf{F} = -f\hat{\mathbf{v}}$ : 경로에 의존하므로 비보존력이다.

힘 $\mathbf{F} = (y^2, 2xy + z, y)$ :

\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial y}{\partial y} - \frac{\partial(2xy+z)}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{x}} + \cdots = (1-1)\hat{\mathbf{x}} + (0-0)\hat{\mathbf{y}} + (2y-2y)\hat{\mathbf{z}} = 0

보존력이며, $V = -xy^2 - yz + C$ 이다.

5. 역학적 에너지

정의2.4역학적 에너지

보존력만 작용하는 계에서 역학적 에너지(mechanical energy)는:

E = T + V = \frac{1}{2}mv^2 + V(\mathbf{r})

비보존력이 존재하면 역학적 에너지의 변화는 비보존력이 한 일과 같다:

\Delta E = W_{\text{nc}}

E_f - E_i = \int_{\mathcal{C}} \mathbf{F}_{\text{nc}} \cdot d\mathbf{r}

6. 일반화된 좌표에서의 운동에너지

참고일반화 좌표에서의 운동에너지

일반화 좌표 $q_1, q_2, \ldots, q_n$ 을 사용하면, 위치 벡터는 $\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_1, \ldots, q_n, t)$ 이고:

\dot{\mathbf{r}} = \sum_k \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_k}\dot{q}_k + \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}

운동에너지는 일반화 속도 $\dot{q}_k$ 의 이차 형식이 된다:

T = \frac{1}{2}\sum_{j,k} M_{jk}(q)\dot{q}_j\dot{q}_k + \sum_k a_k(q)\dot{q}_k + T_0(q)

여기서 $M_{jk} = m\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_k}$ 는 질량 행렬(mass matrix) 또는 관성 행렬이며, 양의 준정부호(positive semi-definite) 대칭 행렬이다. 좌표 변환이 시간에 명시적으로 의존하지 않으면 $a_k = 0$ , $T_0 = 0$ 이 되어 운동에너지는 순수한 이차 형식이 된다.

이 표현은 라그랑주 역학으로의 이행에서 핵심적인 역할을 한다.