물리학 강의 노트

정의2.1퍼텐셜 에너지

보존력 $\mathbf{F}$ 에 대해, 퍼텐셜 에너지(potential energy) $V(\mathbf{r})$ 는 다음과 같이 정의된다:

V(\mathbf{r}) = -\int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}' + V(\mathbf{r}_0)

여기서 $\mathbf{r}_0$ 은 기준점이며, 적분이 경로에 무관하므로 잘 정의된 함수이다. 동등하게:

\mathbf{F} = -\nabla V = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\hat{\mathbf{x}} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{\mathbf{y}} + \frac{\partial V}{\partial z}\hat{\mathbf{z}}\right)

힘은 퍼텐셜 에너지가 감소하는 방향으로 작용한다.

정의2.2기본적인 퍼텐셜 에너지

균일 중력장:

V(z) = mgz

탄성 퍼텐셜 에너지 (후크의 법칙):

V(x) = \frac{1}{2}kx^2

만유인력 퍼텐셜:

V(r) = -\frac{GMm}{r}

쿨롱 퍼텐셜:

V(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r}

정의2.3평형점의 분류

1차원에서 평형점은 $F(x_0) = -V'(x_0) = 0$ 인 점이다. $V''(x_0)$ 의 부호에 따라:

안정 평형점 근방에서 $x = x_0 + \xi$ 로 놓으면:

V(x) \approx V(x_0) + \frac{1}{2}V''(x_0)\xi^2 + \cdots

F \approx -V''(x_0)\xi = -k_{\text{eff}}\xi

이는 유효 스프링 상수 $k_{\text{eff}} = V''(x_0)$ 를 가진 조화 진동자이며, 고유 진동수는:

\omega = \sqrt{\frac{V''(x_0)}{m}}

예제레너드-존스 퍼텐셜의 평형과 진동

레너드-존스 퍼텐셜(Lennard-Jones potential)은 분자 간 상호작용을 모형화한다:

V(r) = 4\epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^6\right]

평형점: $V'(r_0) = 0$ 에서:

r_0 = 2^{1/6}\sigma \approx 1.122\sigma

이차 도함수:

V''(r_0) = \frac{72\epsilon}{\sigma^2} \cdot 2^{-1/3}

평형점 근방에서의 진동수:

\omega = \sqrt{\frac{V''(r_0)}{\mu}} = \sqrt{\frac{72\epsilon \cdot 2^{-1/3}}{\mu\sigma^2}}

여기서 $\mu$ 는 두 원자의 환산 질량이다.

참고에너지 다이어그램을 이용한 운동 분석

1차원 보존계에서 에너지 보존 $E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + V(x)$ 으로부터:

\dot{x} = \pm\sqrt{\frac{2}{m}(E - V(x))}

이 관계로부터 다음을 알 수 있다:

\tau = 2\int_{x_1}^{x_2} \frac{dx}{\sqrt{2(E - V(x))/m}} = \sqrt{2m}\int_{x_1}^{x_2} \frac{dx}{\sqrt{E - V(x)}}

정의2.4다차원 퍼텐셜과 등퍼텐셜면

3차원에서 퍼텐셜 에너지 $V(\mathbf{r})$ 의 등퍼텐셜면(equipotential surface)은 $V(\mathbf{r}) = \text{const.}$ 인 곡면이다.

힘 $\mathbf{F} = -\nabla V$ 는 등퍼텐셜면에 수직이며, $V$ 가 감소하는 방향을 가리킨다.

다차원에서 평형점 $\mathbf{r}_0$ 근방의 테일러 전개는:

V(\mathbf{r}) \approx V(\mathbf{r}_0) + \frac{1}{2}\sum_{i,j} \frac{\partial^2 V}{\partial x_i \partial x_j}\bigg|_{\mathbf{r}_0} \xi_i \xi_j

헤시안 행렬(Hessian matrix) $H_{ij} = \frac{\partial^2 V}{\partial x_i \partial x_j}$ 의 고유값이 모두 양이면 안정 평형, 하나라도 음이면 불안정하다(안장점).

예제중력 퍼텐셜에서 탈출 속도

지구 표면에서 출발하여 무한히 먼 곳에 도달하기 위한 최소 속도(탈출 속도)를 구하자.

에너지 보존:

\frac{1}{2}mv_{\text{esc}}^2 - \frac{GMm}{R} = 0

v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}

지구의 경우:

v_{\text{esc}} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6.37 \times 10^6} \approx 11.2\,\text{km/s}

이 결과는 발사 방향에 무관하다. 이는 퍼텐셜 에너지가 위치에만 의존하고 방향에는 무관한 구대칭 함수이기 때문이다.

참고게이지 자유도

퍼텐셜 에너지에는 임의의 상수를 더할 수 있다. 즉, $V$ 와 $V + C$ 는 같은 힘을 기술한다:

\mathbf{F} = -\nabla V = -\nabla(V + C)

이 자유도를 **게이지 자유도(gauge freedom)**라 하며, 물리적으로 의미 있는 것은 퍼텐셜 에너지의 절대값이 아니라 차이 $\Delta V$ 이다. 기준점의 선택은 문제의 편의에 따라 결정한다.

퍼텐셜 에너지 (Potential Energy)