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물리학 강의 노트

개념완성

운동량과 충격량 (Momentum and Impulse)

1. 선운동량

정의3.1선운동량

질량 mm이고 속도 v\mathbf{v}인 질점의 선운동량(linear momentum)은:

p=mv\mathbf{p} = m\mathbf{v}

NN개 입자 계의 전체 운동량은:

P=∑i=1Nmivi=MVcm\mathbf{P} = \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{v}_i = M\mathbf{V}_{\text{cm}}

여기서 M=∑imiM = \sum_i m_i는 총 질량, Vcm\mathbf{V}_{\text{cm}}은 질량 중심의 속도이다. 전체 운동량은 질량 중심의 운동에 의해 완전히 결정된다.

2. 충격량

정의3.2충격량

충격량(impulse)은 힘의 시간 적분으로 정의된다:

J=∫t1t2F dt=Δp\mathbf{J} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\,dt = \Delta\mathbf{p}

충돌 과정에서 힘 F(t)\mathbf{F}(t)가 짧은 시간 Δt\Delta t 동안 작용하면:

J=⟨F⟩Δt\mathbf{J} = \langle\mathbf{F}\rangle \Delta t

여기서 ⟨F⟩\langle\mathbf{F}\rangle는 시간 평균 힘이다.

3. 충돌 역학

정의3.3충돌의 분류

두 물체의 충돌은 반발 계수(coefficient of restitution) ee로 분류한다:

e=v2f−v1fv1i−v2i=분리 상대 속력접근 상대 속력e = \frac{v_{2f} - v_{1f}}{v_{1i} - v_{2i}} = \frac{\text{분리 상대 속력}}{\text{접근 상대 속력}}
  • 완전 탄성 충돌 (e=1e = 1): 운동에너지 보존
  • 비탄성 충돌 (0<e<10 < e < 1): 운동에너지 일부 손실
  • 완전 비탄성 충돌 (e=0e = 0): 두 물체가 합체, 최대 운동에너지 손실
예제1차원 탄성 충돌

질량 m1m_1, m2m_2인 두 물체가 속도 v1v_1, v2v_2로 1차원 탄성 충돌을 한다. 운동량 보존과 에너지 보존으로부터:

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2'^2

풀면:

v1′=m1−m2m1+m2v1+2m2m1+m2v2v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}v_2v2′=2m1m1+m2v1+m2−m1m1+m2v2v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}v_2

특수한 경우:

  • m1=m2m_1 = m_2: 속도가 교환된다 (v1′=v2v_1' = v_2, v2′=v1v_2' = v_1)
  • m2≫m1m_2 \gg m_1, v2=0v_2 = 0: v1′≈−v1v_1' \approx -v_1 (반사)
  • m1≫m2m_1 \gg m_2, v2=0v_2 = 0: v2′≈2v1v_2' \approx 2v_1 (최대 에너지 전달)

4. 질량 중심 좌표계에서의 충돌

정의3.4질량 중심 좌표계

질량 중심(CM) 좌표계에서 전체 운동량은 영이다:

P∗=m1v1∗+m2v2∗=0\mathbf{P}^* = m_1\mathbf{v}_1^* + m_2\mathbf{v}_2^* = 0

따라서 v1∗=−m2m1v2∗\mathbf{v}_1^* = -\frac{m_2}{m_1}\mathbf{v}_2^*이다.

CM 좌표계에서 탄성 충돌은 각 입자의 속력이 변하지 않고 방향만 변하는 단순한 형태를 가진다:

∣v1∗′∣=∣v1∗∣,∣v2∗′∣=∣v2∗∣|\mathbf{v}_1^{*\prime}| = |\mathbf{v}_1^*|, \qquad |\mathbf{v}_2^{*\prime}| = |\mathbf{v}_2^*|

산란각 Θ\Theta에 대해:

v1∗′=∣v1∗∣(sin⁡Θcos⁡ϕ,  sin⁡Θsin⁡ϕ,  cos⁡Θ)\mathbf{v}_1^{*\prime} = |\mathbf{v}_1^*|(\sin\Theta\cos\phi,\;\sin\Theta\sin\phi,\;\cos\Theta)

5. 완전 비탄성 충돌과 에너지 손실

예제완전 비탄성 충돌의 에너지 손실

질량 m1m_1이 속도 v0v_0으로 정지한 m2m_2에 충돌하여 합체하는 경우:

합체 후 속도:

v′=m1v0m1+m2v' = \frac{m_1 v_0}{m_1 + m_2}

운동에너지 손실:

ΔT=12m1v02−12(m1+m2)v′2=12m1m2m1+m2v02=12μvrel2\Delta T = \frac{1}{2}m_1 v_0^2 - \frac{1}{2}(m_1+m_2)v'^2 = \frac{1}{2}\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}v_0^2 = \frac{1}{2}\mu v_{\text{rel}}^2

손실 비율:

ΔTTi=m2m1+m2\frac{\Delta T}{T_i} = \frac{m_2}{m_1+m_2}

이 에너지는 열, 소리, 변형 에너지 등으로 전환된다. m2≫m1m_2 \gg m_1이면 거의 모든 운동에너지가 손실된다.

6. 각운동량

정의3.5각운동량

원점 OO에 대한 질점의 각운동량(angular momentum)은:

L=r×p=mr×v\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = m\mathbf{r} \times \mathbf{v}

각운동량의 시간 변화율은 토크(torque)와 같다:

dLdt=τ=r×F\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}

NN개 입자 계의 총 각운동량은:

L=∑iri×pi=R×MVcm+∑iri′×mivi′\mathbf{L} = \sum_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i = \mathbf{R} \times M\mathbf{V}_{\text{cm}} + \sum_i \mathbf{r}_i' \times m_i\mathbf{v}_i'

첫 번째 항은 질량 중심의 궤도 각운동량, 두 번째 항은 질량 중심 주위의 스핀 각운동량이다.

참고운동량과 대칭성

뇌터 정리에 의하면, 운동량과 각운동량의 보존은 공간의 대칭성에 직결된다:

  • 공간 병진 대칭 ⇒\Rightarrow 선운동량 보존
  • 공간 회전 대칭 ⇒\Rightarrow 각운동량 보존
  • 시간 병진 대칭 ⇒\Rightarrow 에너지 보존

이 대응은 고전역학의 가장 깊은 구조적 특성 중 하나이며, 라그랑주 역학의 맥락에서 정밀하게 정식화된다.