물리학 강의 노트

법칙2.1일-에너지 정리

알짜힘이 질점에 한 총 일은 운동에너지의 변화량과 같다:

\boxed{W_{\text{net}} = \Delta T = T_f - T_i = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2}

유도뉴턴의 제2법칙으로부터의 유도

출발점: 뉴턴의 제2법칙 $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$

1단계: 양변에 $d\mathbf{r} = \mathbf{v}\,dt$ 를 내적한다:

\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = m\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r}

2단계: 오른쪽을 변환한다:

m\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v}\,dt = m\mathbf{v} \cdot d\mathbf{v}

3단계: 항등식 $\mathbf{v} \cdot d\mathbf{v} = \frac{1}{2}d(v^2)$ 를 사용한다:

m\mathbf{v} \cdot d\mathbf{v} = \frac{m}{2}d(v^2) = d\left(\frac{1}{2}mv^2\right)

4단계: 경로를 따라 적분한다:

\int_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{T_i}^{T_f} dT = T_f - T_i

\therefore\; W_{\text{net}} = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \quad \blacksquare

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유도직교 좌표 성분별 유도

$x$ 성분에 대해:

F_x = m\ddot{x} = m\frac{dv_x}{dt}

양변에 $dx = v_x\,dt$ 를 곱하면:

F_x\,dx = mv_x\,dv_x

적분하면:

\int_{x_i}^{x_f} F_x\,dx = \frac{1}{2}mv_{x,f}^2 - \frac{1}{2}mv_{x,i}^2

$y$ , $z$ 성분도 동일하게 처리하여 합산하면:

W = \int_{\mathcal{C}} (F_x\,dx + F_y\,dy + F_z\,dz) = \frac{1}{2}m(v_{x,f}^2 + v_{y,f}^2 + v_{z,f}^2) - \frac{1}{2}m(v_{x,i}^2 + v_{y,i}^2 + v_{z,i}^2)

= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \quad \blacksquare

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유도다체계의 일-에너지 정리

$N$ 개의 입자 계에서 $i$ 번째 입자에 대해:

m_i \dot{\mathbf{v}}_i = \mathbf{F}_i^{(\text{ext})} + \sum_{j \neq i} \mathbf{F}_{ij}

양변에 $d\mathbf{r}_i = \mathbf{v}_i\,dt$ 를 내적하고 모든 입자에 대해 합산하면:

\sum_i d\left(\frac{1}{2}m_i v_i^2\right) = \sum_i \mathbf{F}_i^{(\text{ext})} \cdot d\mathbf{r}_i + \sum_{i<j} \mathbf{F}_{ij} \cdot (d\mathbf{r}_i - d\mathbf{r}_j)

적분하면:

\Delta T = W^{(\text{ext})} + W^{(\text{int})}

$W^{(\text{ext})} = \sum_i \int \mathbf{F}_i^{(\text{ext})} \cdot d\mathbf{r}_i$ : 외력이 한 일
$W^{(\text{int})} = \sum_{i<j} \int \mathbf{F}_{ij} \cdot d\mathbf{r}_{ij}$ : 내력이 한 일 ( $\mathbf{r}_{ij} = \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j$ )

단일 입자와 달리, 다체계에서는 내력도 일을 할 수 있다. 강체의 경우 내력의 일은 영이다(입자 간 거리가 일정하므로 $\mathbf{F}_{ij} \perp d\mathbf{r}_{ij}$ ).

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유도에너지 보존 법칙의 유도

알짜힘을 보존력과 비보존력으로 분리하면:

\mathbf{F} = \mathbf{F}_c + \mathbf{F}_{\text{nc}} = -\nabla V + \mathbf{F}_{\text{nc}}

일-에너지 정리에서:

W_c + W_{\text{nc}} = \Delta T

보존력이 한 일은:

W_c = \int_{\mathcal{C}} \mathbf{F}_c \cdot d\mathbf{r} = -\int_{\mathcal{C}} \nabla V \cdot d\mathbf{r} = -(V_f - V_i) = -\Delta V

대입하면:

-\Delta V + W_{\text{nc}} = \Delta T

\boxed{W_{\text{nc}} = \Delta T + \Delta V = \Delta E}

$W_{\text{nc}} = 0$ 이면 $\Delta E = 0$ , 즉 역학적 에너지가 보존된다.

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예제변속도 도르래 문제

질량 $m_1$ , $m_2$ ( $m_1 > m_2$ )인 두 물체가 가벼운 도르래에 줄로 연결되어 있다. 에너지 보존으로 가속도를 구하자.

높이 $h$ 만큼 이동했을 때:

\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = m_1 gh - m_2 gh

v^2 = \frac{2(m_1 - m_2)gh}{m_1 + m_2}

$v^2 = 2ah$ 로부터:

a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2}

이는 뉴턴의 제2법칙으로부터 직접 구한 결과와 일치한다. 에너지 방법은 힘의 분석 없이 결과를 얻을 수 있어 복잡한 문제에서 특히 유용하다.

참고일-에너지 정리의 상대론적 확장

특수상대론에서 운동에너지는:

T = (\gamma - 1)mc^2, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

일-에너지 정리 $W = \Delta T$ 는 여전히 성립하지만, $T$ 의 표현이 달라진다. $v \ll c$ 의 극한에서:

T \approx \frac{1}{2}mv^2 + \frac{3}{8}\frac{mv^4}{c^2} + \cdots

선행항이 비상대론적 운동에너지를 복원한다.

일-에너지 정리 유도 (Work-Energy Theorem Derivation)