에너지 보존 법칙 (Conservation of Energy)

1. 역학적 에너지 보존

법칙2.1역학적 에너지 보존 법칙

보존력만 작용하는 계에서 역학적 에너지 $E = T + V$ 는 시간에 대해 일정하다:

\boxed{\frac{dE}{dt} = 0 \quad \Longrightarrow \quad T + V = \text{const.}}

\frac{1}{2}mv_i^2 + V(\mathbf{r}_i) = \frac{1}{2}mv_f^2 + V(\mathbf{r}_f)

증명은 직접적이다:

\frac{dE}{dt} = \frac{dT}{dt} + \frac{dV}{dt} = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v} + \nabla V \cdot \dot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v} - \mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = 0

정의2.1일반화된 에너지 관계

보존력 $\mathbf{F}_c = -\nabla V$ 와 비보존력 $\mathbf{F}_{\text{nc}}$ 가 동시에 작용하면:

\frac{dE}{dt} = \mathbf{F}_{\text{nc}} \cdot \mathbf{v} = P_{\text{nc}}

적분 형태:

E_f - E_i = W_{\text{nc}} = \int_{\mathcal{C}} \mathbf{F}_{\text{nc}} \cdot d\mathbf{r}

마찰력의 경우 $\mathbf{F}_{\text{nc}} \cdot \mathbf{v} < 0$ 이므로 역학적 에너지가 감소한다. 감소된 에너지는 열에너지로 전환된다.

유도에너지 보존으로부터의 운동 해

1차원 보존계에서 에너지 보존 $E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + V(x)$ 으로부터:

\dot{x} = \pm\sqrt{\frac{2(E - V(x))}{m}}

이를 분리하면:

dt = \pm\frac{dx}{\sqrt{2(E - V(x))/m}}

적분하면 $t(x)$ 를 얻는다:

t - t_0 = \pm\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_0}^{x} \frac{dx'}{\sqrt{E - V(x')}}

원리적으로 이를 역함수로 풀면 $x(t)$ 를 구할 수 있다. 즉, 에너지 보존은 2차 미분방정식의 차수를 1차로 낮추는 **첫 번째 적분(first integral)**이다.

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예제단순 조화 진동자의 에너지 해법

$V(x) = \frac{1}{2}kx^2$ 에서:

t = \sqrt{\frac{m}{2}}\int_0^x \frac{dx'}{\sqrt{E - \frac{1}{2}kx'^2}}

$x' = A\sin\phi$ 로 치환하면 ( $A = \sqrt{2E/k}$ ):

t = \sqrt{\frac{m}{k}}\int_0^{\phi} d\phi' = \frac{1}{\omega}\phi

따라서 $x(t) = A\sin(\omega t)$ , $\omega = \sqrt{k/m}$ 이다.

법칙2.2다체계의 에너지 보존

$N$ 개 입자로 구성된 보존계의 총 에너지는:

E = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2}m_i v_i^2 + \sum_{i<j} V_{ij}(|\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j|) + \sum_i V_i^{(\text{ext})}(\mathbf{r}_i)

여기서 $V_{ij}$ 는 입자 간 상호작용 퍼텐셜, $V_i^{(\text{ext})}$ 는 외부 퍼텐셜이다.

질량 중심-상대 운동 분해에서:

E = \frac{1}{2}MV_{\text{cm}}^2 + E_{\text{int}}

$E_{\text{int}}$ 는 내부 에너지(상대 운동에너지 + 상호작용 퍼텐셜)이다. 외력이 없으면 $V_{\text{cm}} = \text{const.}$ 이고 $E_{\text{int}}$ 도 따로 보존된다.

참고야코비 적분

라그랑지안 $L = T - V$ 가 시간에 명시적으로 의존하지 않으면, 에너지 함수(야코비 적분):

h = \sum_k \dot{q}_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} - L

는 운동의 상수이다. 좌표 변환이 시간에 무관하면 $T$ 가 $\dot{q}_k$ 의 순수한 이차 형식이 되어 $h = T + V = E$ 이다.

그러나 시간에 의존하는 좌표 변환(예: 회전 좌표계)을 사용하면 $h \neq T + V$ 이며, 이 경우 $h$ 는 보존되지만 물리적 에너지와는 다른 양이 될 수 있다.

참고시간 병진 대칭과 에너지 보존

뇌터 정리에 의하면, 에너지 보존은 물리 법칙의 **시간 병진 대칭(time translation symmetry)**에서 기인한다. 라그랑지안이 시간에 명시적으로 의존하지 않으면:

\frac{\partial L}{\partial t} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{dh}{dt} = 0

역으로, 외부 조건이 시간에 따라 변하는 계(예: 시간에 따라 변하는 외부 전기장)에서는 $\frac{\partial L}{\partial t} \neq 0$ 이고 에너지가 보존되지 않는다.

에너지 보존은 물리학에서 가장 보편적인 원리 중 하나이다. 역학적 에너지가 보존되지 않는 것처럼 보이는 경우에도, 열에너지, 전자기 에너지, 핵에너지 등 다른 형태의 에너지를 포함하면 총 에너지는 항상 보존된다.