물리학 강의 노트

법칙3.1운동량 보존 법칙

외부 합력이 영인 고립계(isolated system)에서 전체 운동량은 보존된다:

\mathbf{F}^{(\text{ext})}_{\text{total}} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\mathbf{P} = \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{v}_i = \text{const.}}

이는 뉴턴의 제2법칙과 제3법칙의 직접적인 결과이다. 성분별로:

P_x = \text{const.}, \quad P_y = \text{const.}, \quad P_z = \text{const.}

참고한 방향의 운동량 보존

외력이 작용하더라도 특정 방향의 외력 성분이 영이면, 그 방향의 운동량 성분은 보존된다:

F_x^{(\text{ext})} = 0 \quad \Longrightarrow \quad P_x = \text{const.}

예를 들어, 중력장에서의 폭발에서 수평 방향 외력은 없으므로 수평 운동량은 보존되지만, 수직 운동량은 중력 때문에 보존되지 않는다.

법칙3.2질량 중심 운동 정리

계의 질량 중심은 전체 질량이 집중된 질점처럼 운동한다:

M\ddot{\mathbf{R}}_{\text{cm}} = \mathbf{F}^{(\text{ext})}_{\text{total}}

외력이 영이면 질량 중심은 등속 직선 운동을 한다:

\mathbf{R}_{\text{cm}}(t) = \mathbf{R}_{\text{cm}}(0) + \mathbf{V}_{\text{cm}} t

이 정리는 계의 내부 구조와 무관하게 성립하며, 질량 중심 추적은 복잡한 계의 거시적 운동을 이해하는 핵심 도구이다.

예제2차원 탄성 충돌

질량 $m$ 인 입자가 정지한 같은 질량의 입자에 충돌하는 2차원 탄성 충돌을 분석하자.

운동량 보존:

m\mathbf{v}_0 = m\mathbf{v}_1 + m\mathbf{v}_2

에너지 보존:

v_0^2 = v_1^2 + v_2^2

운동량 보존의 벡터 방정식을 제곱하면:

v_0^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2

에너지 보존과 비교하면 $\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = 0$ , 즉:

\theta_1 + \theta_2 = 90°

등질량 2차원 탄성 충돌에서 두 입자는 항상 직각으로 산란된다. 이 결과는 핵물리학과 입자물리학의 실험에서 중요하게 사용된다.

예제다단 로켓

단일 단 로켓의 최종 속도는 치올코프스키 방정식에 의해 제한된다. $n$ 단 로켓에서 각 단의 구조 질량비를 $\epsilon = m_{\text{struct}}/m_{\text{total,stage}}$ 라 하면, 총 속도 증분은:

\Delta v_{\text{total}} = \sum_{k=1}^{n} v_{e,k} \ln\frac{1}{\epsilon_k}

모든 단에서 $v_e$ 와 $\epsilon$ 이 같다면:

\Delta v_{\text{total}} = nv_e \ln\frac{1}{\epsilon}

단수 $n$ 을 증가시키면 최종 속도를 크게 높일 수 있지만, 구조적 복잡성과 신뢰성의 한계가 있다. 실제 우주 발사체는 주로 2~3단 로켓을 사용한다.

참고공간 병진 대칭과 운동량 보존

뇌터 정리에 의하면, 운동량 보존은 물리 법칙의 **공간 병진 대칭(spatial translation symmetry)**에서 기인한다.

라그랑지안 $L$ 이 공간 좌표 $q_k$ 에 명시적으로 의존하지 않으면:

\frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} = 0

$p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}$ 가 보존된다. 데카르트 좌표에서 이는 선운동량의 보존이다.

이 관점에서 운동량 보존은 "빈 공간은 어느 곳이나 동등하다"는 공간의 균질성(homogeneity of space)의 수학적 표현이다.

마찬가지로, 각운동량 보존은 공간의 등방성(isotropy of space), 즉 "빈 공간에는 특별한 방향이 없다"는 성질에서 기인한다.

운동량 보존 법칙 (Conservation of Momentum)