단순조화진동 (Simple Harmonic Motion)

1. 기본 개념

정의3.1단순조화진동

단순조화진동(SHM)은 복원력이 변위에 비례하는 운동으로, 운동 방정식은:

\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0

여기서 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 은 각진동수(angular frequency)이다. 일반해는:

x(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi)

또는 동등하게:

x(t) = C_1\cos\omega_0 t + C_2\sin\omega_0 t

여기서 $A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2}$ 는 진폭(amplitude), $\phi = -\arctan(C_2/C_1)$ 는 초기 위상(phase)이다.

주기, 진동수, 각진동수의 관계:

T = \frac{2\pi}{\omega_0}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega_0}{2\pi}

정의3.2SHM의 에너지

운동에너지와 퍼텐셜 에너지는:

T = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 = \frac{1}{2}m\omega_0^2 A^2\sin^2(\omega_0 t + \phi)

V = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega_0^2 A^2\cos^2(\omega_0 t + \phi)

총 에너지:

E = T + V = \frac{1}{2}m\omega_0^2 A^2 = \frac{1}{2}kA^2

시간 평균 에너지:

\langle T \rangle = \langle V \rangle = \frac{E}{2}

이는 비리얼 정리(virial theorem)의 특수한 경우이다: $V \propto x^2$ 인 퍼텐셜에서 $\langle T \rangle = \langle V \rangle$ .

정의3.3복소 진폭 표현

복소수를 이용하면 SHM을 더 간결하게 다룰 수 있다:

\tilde{x}(t) = \tilde{A}e^{i\omega_0 t}, \qquad \tilde{A} = Ae^{i\phi}

실제 물리적 변위는 실수부이다:

x(t) = \text{Re}[\tilde{x}(t)] = A\cos(\omega_0 t + \phi)

이 표현의 장점은 미분이 단순한 곱셈이 된다는 것이다:

\dot{\tilde{x}} = i\omega_0\tilde{x}, \qquad \ddot{\tilde{x}} = -\omega_0^2\tilde{x}

이는 감쇠 진동과 강제 진동에서 특히 유용하다.

예제스프링-질량 계

후크의 법칙 $F = -kx$ 에 의해:

m\ddot{x} = -kx \quad \Longrightarrow \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

직렬 연결된 스프링( $k_1, k_2$ ): $\frac{1}{k_{\text{eff}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

병렬 연결된 스프링: $k_{\text{eff}} = k_1 + k_2$

예제단진자

길이 $\ell$ 인 단진자의 정확한 운동 방정식은:

\ddot{\theta} + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0

$\theta \ll 1$ 이면 $\sin\theta \approx \theta$ 이므로 SHM으로 근사된다:

\ddot{\theta} + \frac{g}{\ell}\theta = 0, \qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}

정확한 주기는 타원 적분으로 주어진다:

T = 4\sqrt{\frac{\ell}{g}}\int_0^{\pi/2} \frac{d\psi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\psi}} = T_0\left(1 + \frac{1}{4}\sin^2\frac{\theta_0}{2} + \cdots\right)

여기서 $k = \sin(\theta_0/2)$ 이다. $\theta_0 = 30°$ 에서 주기의 보정은 약 1.7%이다.

예제LC 회로

인덕터 $L$ 과 캐패시터 $C$ 로 구성된 회로에서 전하 $q$ 는:

L\ddot{q} + \frac{q}{C} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

역학적 진동자와의 대응: $m \leftrightarrow L$ , $k \leftrightarrow 1/C$ , $x \leftrightarrow q$ , $v \leftrightarrow I$ .

참고SHM의 위상 공간 궤적

SHM의 상태를 $(x, p)$ 평면에서 나타내면:

\frac{x^2}{A^2} + \frac{p^2}{(m\omega_0 A)^2} = 1

이는 타원이며, 에너지가 클수록 큰 타원을 그린다. 궤적은 시계 방향으로 회전하며, 모든 에너지에서 주기가 동일하다(등시성, isochronism).

위상 공간의 면적은 작용 변수(action variable)와 관련된다:

J = \oint p\,dx = \pi m\omega_0 A^2 = \frac{2\pi E}{\omega_0}

양자역학에서 이 작용은 $J = n\hbar$ ( $n = 0, 1, 2, \ldots$ )로 양자화된다.

정의3.4두 개의 연성 진동자

동일한 두 진동자가 스프링 $k'$ 으로 연결된 경우:

m\ddot{x}_1 = -kx_1 - k'(x_1 - x_2)

m\ddot{x}_2 = -kx_2 - k'(x_2 - x_1)

기준 좌표(normal coordinates) $q_{\pm} = x_1 \pm x_2$ 를 도입하면:

\ddot{q}_+ + \omega_+^2 q_+ = 0, \qquad \omega_+ = \sqrt{\frac{k}{m}}

\ddot{q}_- + \omega_-^2 q_- = 0, \qquad \omega_- = \sqrt{\frac{k + 2k'}{m}}

각 기준 모드(normal mode)는 독립적인 SHM이다. 일반 운동은 이들의 중첩이며, 두 진동수가 비슷하면 맥놀이(beats) 현상이 나타난다:

x_1(t) = A\cos\left(\frac{\omega_- - \omega_+}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_- + \omega_+}{2}t\right)