물리학 강의 노트

정의3.1감쇠 조화 진동자

선형 감쇠력 $-b\dot{x}$ 를 포함한 조화 진동자의 운동 방정식은:

m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0

표준 형태로 쓰면:

\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = 0

여기서 $\gamma = b/(2m)$ 는 감쇠 계수(damping coefficient), $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 은 비감쇠 고유 진동수이다.

정의3.2특성 방정식

$x(t) = e^{st}$ 를 시도하면 특성 방정식:

s^2 + 2\gamma s + \omega_0^2 = 0

근은:

s_{\pm} = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}

$\gamma$ 와 $\omega_0$ 의 상대적 크기에 따라 세 가지 경우가 구분된다.

정의3.3부족 감쇠: $\gamma < \omega_0$

감쇠 진동수 $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ 를 정의하면:

\boxed{x(t) = Ae^{-\gamma t}\cos(\omega_d t + \phi)}

진동이 지수적으로 감소하는 포락선 $\pm Ae^{-\gamma t}$ 안에서 일어난다.

주기는 비감쇠 경우보다 약간 길어진다:

T_d = \frac{2\pi}{\omega_d} = \frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}} > T_0

정의3.4임계 감쇠: $\gamma = \omega_0$

중근 $s = -\gamma$ 이므로 일반해는:

\boxed{x(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-\gamma t}}

이 경우 진동 없이 가장 빠르게 평형점으로 복귀한다. 문이 천천히 닫히는 도어 클로저, 자동차 충격 흡수 장치 등에서 이상적인 설계 목표가 된다.

정의3.5과감쇠: $\gamma > \omega_0$

두 실수 근 $s_{\pm} = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$ (둘 다 음수)에 대해:

\boxed{x(t) = C_1 e^{s_+ t} + C_2 e^{s_- t}}

진동 없이 천천히 평형점에 접근한다. $|s_-| > |s_+|$ 이므로 장시간 후에는 느린 모드 $e^{s_+ t}$ 가 지배적이다.

정의3.6품질 인자

품질 인자(quality factor) $Q$ 는 감쇠의 정도를 나타내는 무차원 수로:

Q = \frac{\omega_0}{2\gamma}

$Q$ 의 물리적 의미는 에너지 관점에서 명확하다:

Q = 2\pi \times \frac{\text{저장된 에너지}}{\text{한 주기 동안 손실된 에너지}} = 2\pi \frac{E}{\Delta E}

에너지가 지수적으로 감소하므로:

E(t) = E_0 e^{-2\gamma t} = E_0 e^{-\omega_0 t/Q}

에너지가 $1/e$ 로 감소하는 데 $Q/\pi$ 주기가 걸린다.

| 시스템 | $Q$ 값 | |--------|--------| | 자동차 서스펜션 | $\sim 1$ | | 피아노 현 | $\sim 10^3$ | | 수정 진동자 | $\sim 10^5$ | | 레이저 공동 | $\sim 10^{10}$ |

예제감쇠 진동의 에너지 감소율

부족 감쇠 진동자의 에너지를 계산하자. $x(t) = Ae^{-\gamma t}\cos(\omega_d t + \phi)$ 에서:

E(t) = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}m\dot{x}^2

$\gamma \ll \omega_0$ (약한 감쇠)이면 한 주기 내에서 진폭이 거의 변하지 않으므로:

E(t) \approx \frac{1}{2}kA^2 e^{-2\gamma t} = E_0 e^{-2\gamma t}

에너지 소산율:

\frac{dE}{dt} = -2\gamma E = -\frac{\omega_0}{Q}E

이 관계는 감쇠에 의한 에너지 소산 과정을 가장 간결하게 표현한다.

참고로그 감쇠율

연속된 두 극대값의 비를 로그 감쇠율(logarithmic decrement) $\delta$ 로 정의한다:

\delta = \ln\frac{x(t)}{x(t + T_d)} = \gamma T_d = \frac{2\pi\gamma}{\omega_d}

$Q$ 와의 관계:

\delta = \frac{\pi}{Q}\frac{\omega_0}{\omega_d} \approx \frac{\pi}{Q} \quad (\gamma \ll \omega_0)

실험에서 $\delta$ 를 측정하여 $\gamma$ 와 $Q$ 를 결정할 수 있다. $n$ 주기 후의 진폭비는:

\frac{A_n}{A_0} = e^{-n\delta}

감쇠진동 (Damped Oscillations)