물리학 강의 노트

정의3.1강제진동의 운동 방정식

주기적 외력 $F_0\cos\omega t$ 가 작용하는 감쇠 조화 진동자:

\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos\omega t

이는 2차 비제차 선형 상미분방정식이다. 일반해는 제차해(과도 응답)와 특수해(정상 응답)의 합이다:

x(t) = x_h(t) + x_p(t)

과도 응답 $x_h(t)$ 는 감쇠에 의해 시간이 지나면 소멸하고, 정상 응답 $x_p(t)$ 만 남는다.

유도복소 진폭법을 이용한 정상 상태 해

$x_p(t) = \text{Re}[\tilde{A}e^{i\omega t}]$ 로 놓으면:

(-\omega^2 + 2i\gamma\omega + \omega_0^2)\tilde{A} = \frac{F_0}{m}

\tilde{A} = \frac{F_0/m}{\omega_0^2 - \omega^2 + 2i\gamma\omega}

진폭과 위상:

\boxed{A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}}}

\boxed{\delta(\omega) = \arctan\frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}}

정상 상태 해는:

x_p(t) = A(\omega)\cos(\omega t - \delta)

■

정의3.2공명

변위 공명(amplitude resonance): $A(\omega)$ 가 최대가 되는 진동수:

\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2} = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2}}

최대 진폭:

A_{\max} = \frac{F_0}{2m\gamma\omega_d} = \frac{F_0}{m\omega_0^2}\frac{Q}{\sqrt{1 - 1/(4Q^2)}}

속도 공명(velocity resonance): 속도 진폭이 최대가 되는 진동수는 정확히 $\omega = \omega_0$ 이다:

v_{\max} = \frac{F_0}{b} = \frac{F_0}{2m\gamma}

전력 공명: 구동력이 진동자에 전달하는 평균 전력이 최대인 진동수도 $\omega = \omega_0$ 이다:

\langle P \rangle = \frac{F_0^2}{4m}\frac{2\gamma}{(\omega - \omega_0)^2 + \gamma^2}

이는 로렌츠 함수(Lorentzian) 형태이며, 반치폭(FWHM)은 $\Delta\omega = 2\gamma = \omega_0/Q$ 이다.

참고위상 변화의 물리적 의미

위상차 $\delta(\omega)$ 는 구동력과 변위 사이의 시간 지연을 나타낸다:

$\omega \ll \omega_0$ : $\delta \approx 0$ (변위가 힘과 동위상, 강성이 지배)
$\omega = \omega_0$ : $\delta = \pi/2$ (변위가 힘보다 $90°$ 뒤짐, 속도가 힘과 동위상 -- 최대 전력 전달)
$\omega \gg \omega_0$ : $\delta \approx \pi$ (변위가 힘과 반위상, 관성이 지배)

위상이 $\pi/2$ 를 지나는 점이 공명 진동수이며, 위상의 급격한 변화는 $Q$ 가 클수록 더 뚜렷하다.

예제과도 상태에서 정상 상태로의 전이

초기에 정지한 진동자( $x(0) = 0$ , $\dot{x}(0) = 0$ )에 주기적 외력이 가해지면, 전체 해는:

x(t) = x_h(t) + x_p(t)

여기서 $x_h(t) = Be^{-\gamma t}\cos(\omega_d t + \psi)$ 이고, 초기 조건으로 $B$ 와 $\psi$ 가 결정된다.

감쇠가 약하고 $\omega \approx \omega_0$ 이면, 과도 기간 동안 맥놀이가 나타난다:

x(t) \approx \frac{F_0}{2m\omega_0}\frac{\sin[(\omega_0 - \omega)t/2]}{(\omega_0 - \omega)/2}\cos(\omega_0 t)

맥놀이 진동수는 $|\omega_0 - \omega|$ 이며, 진폭이 점차 증가하여 정상 상태에 도달한다. 정상 상태까지의 시간 척도는 $\tau \sim 1/\gamma = 2Q/\omega_0$ 이다.

참고푸리에 분석과 중첩 원리

일반적인 주기 함수 $F(t)$ 를 푸리에 급수로 전개하면:

F(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos n\omega t + b_n\sin n\omega t\right)

선형 방정식이므로 중첩 원리에 의해 각 조화 성분의 응답을 독립적으로 구하여 합산한다:

x(t) = \sum_{n=0}^{\infty} A(n\omega)\cos(n\omega t - \delta(n\omega))

$n\omega \approx \omega_0$ 인 성분이 공명에 의해 크게 증폭된다. 이것이 구조물의 진동 분석에서 푸리에 분석이 핵심적인 이유이다.

예제전기 회로에서의 공명: RLC 회로

저항 $R$ , 인덕터 $L$ , 캐패시터 $C$ 가 직렬로 연결되고 교류 전압 $\mathcal{E}_0\cos\omega t$ 가 인가되면:

L\ddot{q} + R\dot{q} + \frac{q}{C} = \mathcal{E}_0\cos\omega t

역학적 진동자와의 대응:

\gamma = \frac{R}{2L}, \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}

공명 시 전류의 진폭이 최대: $I_{\max} = \mathcal{E}_0/R$

캐패시터와 인덕터 양단의 전압은 인가 전압의 $Q$ 배까지 증폭될 수 있다:

V_C = V_L = Q\mathcal{E}_0

이 전압 증폭 효과는 라디오 수신기의 동조 회로, 무선 충전, 입자 가속기 등에 이용된다.

강제진동과 공명 (Driven Oscillations and Resonance)