물리학 강의 노트

정의3.1단순조화진동 방정식

단순조화진동(SHM)의 운동 방정식은 2차 상수계수 선형 제차 미분방정식이다:

\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0

초기 조건: $x(0) = x_0$ , $\dot{x}(0) = v_0$

유도특성방정식을 이용한 풀이

1단계: $x(t) = e^{st}$ 를 시도해로 대입한다:

s^2 e^{st} + \omega_0^2 e^{st} = 0

$e^{st} \neq 0$ 이므로 특성 방정식:

s^2 + \omega_0^2 = 0

2단계: 근을 구한다:

s = \pm i\omega_0

3단계: 두 독립해는 $e^{i\omega_0 t}$ 와 $e^{-i\omega_0 t}$ 이다. 일반해는:

x(t) = \alpha e^{i\omega_0 t} + \beta e^{-i\omega_0 t}

여기서 $\alpha, \beta$ 는 복소 상수이다.

4단계: $x(t)$ 가 실수이려면 $\beta = \alpha^*$ 이어야 한다. $\alpha = \frac{A}{2}e^{i\phi}$ 로 놓으면:

x(t) = \frac{A}{2}e^{i(\omega_0 t + \phi)} + \frac{A}{2}e^{-i(\omega_0 t + \phi)}

\boxed{x(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi)} \quad \blacksquare

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유도에너지 방법

에너지 보존 $E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2$ 에서:

\dot{x} = \pm\sqrt{\frac{2E}{m} - \omega_0^2 x^2} = \pm\omega_0\sqrt{A^2 - x^2}

여기서 $A^2 = 2E/(m\omega_0^2)$ 이다.

변수 분리:

\frac{dx}{\sqrt{A^2 - x^2}} = \pm\omega_0\,dt

양변을 적분하면:

\arcsin\frac{x}{A} = \pm\omega_0 t + C

x(t) = A\sin(\omega_0 t + C) = A\cos(\omega_0 t + \phi) \quad \blacksquare

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유도초기 조건에 의한 상수 결정

$x(t) = C_1\cos\omega_0 t + C_2\sin\omega_0 t$ 형태에서:

x(0) = C_1 = x_0

\dot{x}(0) = \omega_0 C_2 = v_0 \quad \Longrightarrow \quad C_2 = \frac{v_0}{\omega_0}

따라서:

x(t) = x_0\cos\omega_0 t + \frac{v_0}{\omega_0}\sin\omega_0 t

진폭-위상 형태로 변환하면:

A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega_0^2}}, \qquad \tan\phi = -\frac{v_0}{\omega_0 x_0}

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참고해의 구조

2차 선형 ODE의 해 공간은 2차원 벡터 공간이다. $\cos\omega_0 t$ 와 $\sin\omega_0 t$ 의 론스키안(Wronskian):

W = \begin{vmatrix} \cos\omega_0 t & \sin\omega_0 t \\ -\omega_0\sin\omega_0 t & \omega_0\cos\omega_0 t \end{vmatrix} = \omega_0 \neq 0

이는 두 해가 선형 독립임을 보장하며, 따라서 이들의 선형 결합이 일반해의 전부이다.

존재-유일성 정리에 의해, 초기 조건 $x(0) = x_0$ , $\dot{x}(0) = v_0$ 를 만족하는 해는 유일하다. 이는 두 적분 상수 $C_1, C_2$ (또는 $A, \phi$ )가 두 초기 조건에 의해 유일하게 결정됨을 의미한다.

유도감쇠 진동자의 일반해

감쇠 진동자 $\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = 0$ 에 대해 $x = e^{st}$ 를 시도하면:

s^2 + 2\gamma s + \omega_0^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad s = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}

부족 감쇠 ( $\gamma < \omega_0$ ): $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$

s = -\gamma \pm i\omega_d

x(t) = e^{-\gamma t}(C_1\cos\omega_d t + C_2\sin\omega_d t) = Ae^{-\gamma t}\cos(\omega_d t + \phi)

임계 감쇠 ( $\gamma = \omega_0$ ): 중근 $s = -\gamma$

x(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-\gamma t}

두 번째 독립해 $te^{-\gamma t}$ 는 감소 계수법(reduction of order)으로 구한다.

과감쇠 ( $\gamma > \omega_0$ ):

s_{\pm} = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}

x(t) = C_1 e^{s_+ t} + C_2 e^{s_- t}

세 경우 모두 $t \to \infty$ 에서 $x \to 0$ 이며, 이는 감쇠에 의한 에너지 소산의 결과이다.

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예제초기 조건에 따른 감쇠 진동의 거동

임계 감쇠 ( $\gamma = \omega_0$ )에서 $x(0) = x_0$ , $\dot{x}(0) = v_0$ :

C_1 = x_0, \qquad C_2 = v_0 + \gamma x_0

x(t) = [x_0 + (v_0 + \gamma x_0)t]e^{-\gamma t}

$v_0 + \gamma x_0 > 0$ 이면 $x(t)$ 는 먼저 최대값에 도달한 후 감소한다. 최대값의 시각:

t_{\max} = \frac{x_0}{v_0 + \gamma x_0}

$v_0 < -\gamma x_0$ 이면 (초기 속도가 평형 방향으로 충분히 클 때) 진동 없이 단조 감소하며, 이것이 임계 감쇠의 핵심적 특성이다.

SHM 일반해 유도 (SHM General Solution Derivation)