물리학 강의 노트

정의4.1환산질량

질량 $m_1$ , $m_2$ 인 두 입자가 상호작용 퍼텐셜 $V(|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|)$ 으로 상호작용할 때, 환산질량(reduced mass)은:

\boxed{\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}}

또는 동등하게:

\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}

유도질량 중심-상대 좌표 분리

두 입자의 운동 방정식:

m_1\ddot{\mathbf{r}}_1 = -\nabla_1 V, \qquad m_2\ddot{\mathbf{r}}_2 = -\nabla_2 V

질량 중심 좌표와 상대 좌표를 도입한다:

\mathbf{R} = \frac{m_1\mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2}{M}, \qquad \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2

여기서 $M = m_1 + m_2$ 이다. 역변환:

\mathbf{r}_1 = \mathbf{R} + \frac{m_2}{M}\mathbf{r}, \qquad \mathbf{r}_2 = \mathbf{R} - \frac{m_1}{M}\mathbf{r}

질량 중심의 운동: 두 운동 방정식을 더하면:

M\ddot{\mathbf{R}} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{R}(t) = \mathbf{R}_0 + \mathbf{V}_{\text{cm}}t

상대 운동: 첫 번째 식을 $m_1$ 으로, 두 번째를 $m_2$ 로 나누고 빼면:

\mu\ddot{\mathbf{r}} = -\nabla_r V(r) = \mathbf{F}(\mathbf{r})

이체 문제가 질량 중심의 자유 운동과 환산질량 $\mu$ 에 대한 일체 중심력 문제로 완전히 분리된다.

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참고환산질량의 수학적 성질

$\mu$ 는 항상 두 질량 중 작은 것보다 작다: $\mu < \min(m_1, m_2)$
$m_1 = m_2 = m$ 이면 $\mu = m/2$
$m_1 \gg m_2$ 이면 $\mu \approx m_2$ (가벼운 입자의 질량에 근사)
조화 평균의 반: $\mu = \frac{1}{2}H(m_1, m_2)$ 여기서 $H$ 는 조화 평균

에너지와 각운동량도 분리된다:

T = \frac{1}{2}MV_{\text{cm}}^2 + \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2

\mathbf{L} = M\mathbf{R} \times \dot{\mathbf{R}} + \mu\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}}

예제수소 원자의 보어 모형 보정

수소 원자에서 전자( $m_e$ )와 양성자( $m_p$ ) 사이의 환산질량:

\mu = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p} = \frac{m_e}{1 + m_e/m_p} \approx m_e\left(1 - \frac{m_e}{m_p}\right)

$m_e/m_p \approx 1/1836$ 이므로:

\mu \approx 0.99946\,m_e

보어 에너지 준위를 환산질량으로 보정하면:

E_n = -\frac{\mu e^4}{2\hbar^2 n^2} = -\frac{13.6\,\text{eV}}{n^2} \times \frac{\mu}{m_e}

이 보정은 수소와 중수소의 스펙트럼 차이(동위원소 이동, isotope shift)를 설명하는 데 중요하다.

예제두 별의 궤도 운동

질량이 비슷한 쌍성계(binary star system)에서 $m_1 = m_2 = M_\odot$ 이면:

\mu = \frac{M_\odot}{2}

두 별은 질량 중심을 중심으로 같은 궤도를 그린다. 상대 운동의 케플러 주기는:

T^2 = \frac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)}a^3 = \frac{4\pi^2}{2GM_\odot}a^3

여기서 $a$ 는 상대 궤도의 반장축이다.

정의4.2실험실 좌표계와 CM 좌표계

산란 실험에서 실험실 좌표계(lab frame)의 산란각 $\theta_L$ 과 CM 좌표계의 산란각 $\theta_{\text{cm}}$ 의 관계:

\tan\theta_L = \frac{\sin\theta_{\text{cm}}}{\cos\theta_{\text{cm}} + m_1/m_2}

CM 좌표계에서의 운동 에너지(CM energy):

E_{\text{cm}} = \frac{\mu}{m_1}E_L = \frac{m_2}{m_1+m_2}E_L

여기서 $E_L$ 은 실험실 좌표계에서의 입사 입자 운동에너지이다. 핵반응이나 입자 충돌에서 실제로 반응에 사용 가능한 에너지는 $E_{\text{cm}}$ 이며, 이것이 충돌형 가속기가 고정 과녁형보다 효율적인 이유이다.

참고다체계에서의 야코비 좌표

3체 이상의 문제에서 환산질량 개념은 야코비 좌표(Jacobi coordinates)로 일반화된다. 세 입자의 경우:

\boldsymbol{\rho}_1 = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2, \qquad \boldsymbol{\rho}_2 = \mathbf{r}_3 - \frac{m_1\mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2}{m_1+m_2}

대응하는 환산질량:

\mu_1 = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}, \qquad \mu_2 = \frac{m_3(m_1+m_2)}{m_1+m_2+m_3}

운동에너지가 $T = \frac{1}{2}MV_{\text{cm}}^2 + \frac{1}{2}\mu_1\dot{\rho}_1^2 + \frac{1}{2}\mu_2\dot{\rho}_2^2$ 으로 대각화되어 질량 중심 운동이 분리되지만, 퍼텐셜이 $\boldsymbol{\rho}_1$ 과 $\boldsymbol{\rho}_2$ 에 동시에 의존하므로 상대 운동은 일반적으로 분리되지 않는다. 이것이 3체 문제가 본질적으로 어려운 이유이다.

환산질량 (Reduced Mass)

1. 이체 문제의 분리

2. 이체 문제에서 일체 문제로의 환산

3. 환산질량의 성질

4. 물리적 응용

5. 산란 문제에서의 환산질량

6. 환산질량의 일반화