물리학 강의 노트

정의4.1비네 공식

$u = 1/r$ 로 치환하면, 중심력 문제의 궤도를 $u(\theta)$ 의 미분방정식으로 표현할 수 있다. 각운동량 $\ell = \mu r^2\dot{\theta}$ 를 이용하면:

\dot{r} = -\frac{\ell}{\mu}\frac{du}{d\theta}

\ddot{r} = -\frac{\ell^2 u^2}{\mu^2}\frac{d^2u}{d\theta^2}

운동 방정식 $\mu\ddot{r} - \mu r\dot{\theta}^2 = f(r)$ 에 대입하면 비네 공식(Binet's formula):

\boxed{\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = -\frac{\mu}{\ell^2 u^2}f(1/u)}

이 방정식은 시간 변수를 제거하고 궤도의 기하학적 모양 $r(\theta)$ 를 직접 결정한다.

정의4.2궤도 적분

에너지 보존에서 $\theta(r)$ 을 구할 수 있다:

E = \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2 + V_{\text{eff}}(r)

$\dot{r} = \frac{dr}{d\theta}\dot{\theta} = \frac{\ell}{\mu r^2}\frac{dr}{d\theta}$ 를 대입하면:

\theta - \theta_0 = \int_{r_0}^{r} \frac{\ell/r^2\,dr}{\sqrt{2\mu(E - V(r)) - \ell^2/r^2}}

이를 궤도 적분(orbit integral)이라 한다.

유도원뿔 곡선 궤도

$f(r) = -k/r^2$ 에서 비네 방정식:

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{\mu k}{\ell^2}

이는 상수 강제항이 있는 SHM이며, 해는:

u(\theta) = \frac{\mu k}{\ell^2}(1 + e\cos(\theta - \theta_0))

$r = 1/u$ 로 되돌리면:

\boxed{r(\theta) = \frac{p}{1 + e\cos(\theta - \theta_0)}}

여기서 반직현(semi-latus rectum)과 이심률(eccentricity):

p = \frac{\ell^2}{\mu k}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2E\ell^2}{\mu k^2}}

■

정의4.3원뿔 곡선의 분류

이심률 $e$ 에 따른 궤도 유형:

| $e$ | $E$ | 궤도 | |-----|-----|------| | $e = 0$ | $E = -\mu k^2/(2\ell^2)$ | 원 | | $0 < e < 1$ | $E < 0$ | 타원 | | $e = 1$ | $E = 0$ | 포물선 | | $e > 1$ | $E > 0$ | 쌍곡선 |

타원의 기하학적 매개변수:

a = \frac{p}{1-e^2} = \frac{k}{2|E|}, \qquad b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = a\sqrt{1-e^2}

근일점(perihelion)과 원일점(aphelion):

r_{\min} = \frac{p}{1+e} = a(1-e), \qquad r_{\max} = \frac{p}{1-e} = a(1+e)

정의4.4궤도 요소

3차원 공간에서 궤도를 완전히 기술하는 6개의 궤도 요소(orbital elements):

반장축 $a$ : 궤도의 크기 (에너지와 관련)
이심률 $e$ : 궤도의 형태
궤도 경사 $i$ : 기준면과 궤도면의 각도
승교점 경도 $\Omega$ : 승교점의 방향
근점 편각 $\omega$ : 근일점의 방향
평균 근점 이각 $M$ : 궤도 위의 위치 (시각)

처음 5개는 궤도의 모양과 방향을 결정하고, 마지막 하나가 궤도 위의 위치를 결정한다.

예제러더퍼드 산란의 궤도

쿨롱 척력 $V(r) = k/r$ ( $k > 0$ )에서 산란 궤도는 쌍곡선이다:

r(\theta) = \frac{p}{1 + e\cos\theta}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2E\ell^2}{\mu k^2}} > 1

산란각 $\Theta$ 과 이심률의 관계:

e = \frac{1}{\sin(\Theta/2)} \quad \Longrightarrow \quad \Theta = 2\arcsin\frac{1}{e}

충돌 매개변수(impact parameter) $b$ 와의 관계:

b = \frac{\ell}{\sqrt{2\mu E}} = \frac{k}{2E}\cot\frac{\Theta}{2}

미분 산란 단면적(러더퍼드 공식):

\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{k}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\Theta/2)}

참고열린 궤도와 세차

순수한 역제곱 인력이 아닌 경우, 궤도는 일반적으로 닫히지 않고 세차(precession)한다. 역제곱 인력에 작은 섭동 $\delta V(r)$ 이 추가되면:

V(r) = -\frac{k}{r} + \delta V(r)

한 공전 주기당 근일점의 세차각은:

\Delta\phi = 2\pi\left(\frac{\omega_\theta}{\omega_r} - 1\right)

일반상대론에서 슈바르츠실트 계량에 의한 보정은 유효 퍼텐셜에 $-k\ell^2/(m^2c^2r^3)$ 항을 추가하며, 이로부터 수성의 근일점 세차를 설명하는 유명한 결과를 얻는다:

\Delta\phi = \frac{6\pi GM}{c^2 a(1-e^2)} \approx 43''/\text{century}

궤도 방정식 (Orbit Equation)

1. 비네 공식

2. 궤도 방정식의 적분형

3. 역제곱 인력의 궤도

4. 궤도의 분류

5. 궤도 요소

6. 세차 운동