케플러 궤도 유도 (Kepler Orbit Derivation)

1. 출발점

중력 퍼텐셜 $V(r) = -k/r$ ( $k = GMm$ ) 하에서 환산질량 $\mu$ 인 입자의 운동을 풀어 궤도가 원뿔 곡선임을 보인다.

유도비네 방정식에 의한 케플러 궤도

1단계: $u = 1/r$ 로 치환, 비네 방정식 적용.

중력 $f(r) = -k/r^2 = -ku^2$ 에 대해:

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = -\frac{\mu}{\ell^2 u^2}(-ku^2) = \frac{\mu k}{\ell^2}

2단계: $\alpha = \mu k/\ell^2$ 으로 정의하면:

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \alpha

3단계: $w = u - \alpha$ 로 치환하면 단순 조화 진동:

\frac{d^2w}{d\theta^2} + w = 0

일반해: $w = B\cos(\theta - \theta_0)$

4단계: 원래 변수로 되돌리면:

u = \alpha + B\cos(\theta - \theta_0) = \alpha(1 + e\cos(\theta - \theta_0))

여기서 $e = B/\alpha$ . $r = 1/u$ 이므로:

\boxed{r(\theta) = \frac{p}{1 + e\cos(\theta - \theta_0)}}

여기서 $p = 1/\alpha = \ell^2/(\mu k)$ 이다. $\quad \blacksquare$

■

유도직접 적분에 의한 케플러 궤도

에너지 보존:

E = \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2 + \frac{\ell^2}{2\mu r^2} - \frac{k}{r}

$u = 1/r$ , $\dot{r} = -(\ell/\mu)(du/d\theta)$ 를 대입:

E = \frac{\ell^2}{2\mu}\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2 + \frac{\ell^2}{2\mu}u^2 - ku

변수 분리:

\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2 = -u^2 + \frac{2\mu k}{\ell^2}u + \frac{2\mu E}{\ell^2}

이를 완전제곱식으로 정리:

\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2 = -(u - \alpha)^2 + \alpha^2 + \frac{2\mu E}{\ell^2}

$\beta^2 = \alpha^2 + 2\mu E/\ell^2$ 으로 정의하면:

\frac{du}{\sqrt{\beta^2 - (u-\alpha)^2}} = \pm d\theta

적분하면:

\arccos\frac{u - \alpha}{\beta} = \theta - \theta_0

u = \alpha + \beta\cos(\theta - \theta_0) = \alpha(1 + e\cos(\theta - \theta_0))

이심률은:

e = \frac{\beta}{\alpha} = \sqrt{1 + \frac{2E\ell^2}{\mu k^2}} \quad \blacksquare

■

정의4.1궤도 매개변수

에너지와 각운동량으로 표현된 궤도 매개변수:

a = \frac{k}{2|E|} = \frac{p}{1-e^2}

p = \frac{\ell^2}{\mu k}

e = \sqrt{1 + \frac{2E\ell^2}{\mu k^2}}

역으로:

E = -\frac{k}{2a} = -\frac{\mu k^2}{2\ell^2}(1-e^2)

\ell^2 = \mu k p = \mu k a(1-e^2)

유도주기-반장축 관계

제2법칙에서:

\frac{dA}{dt} = \frac{\ell}{2\mu} = \text{const.}

한 주기 $T$ 동안 쓸린 총 면적은 타원의 넓이:

A_{\text{total}} = \pi ab

따라서:

\frac{\ell}{2\mu}T = \pi ab

$b = a\sqrt{1-e^2}$ , $\ell = \sqrt{\mu k a(1-e^2)}$ 를 대입:

T = \frac{2\pi\mu ab}{\ell} = \frac{2\pi\mu a \cdot a\sqrt{1-e^2}}{\sqrt{\mu k a(1-e^2)}} = 2\pi a^{3/2}\sqrt{\frac{\mu}{k}}

$k = G M m$ , $\mu = Mm/(M+m)$ 을 대입하면:

\boxed{T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3} \quad \blacksquare

■

유도러지-렌츠 벡터에 의한 궤도 유도

보존되는 러지-렌츠 벡터:

\mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} - \mu k\hat{\mathbf{r}}

$\mathbf{A}$ 를 근일점 방향( $\theta = 0$ )으로 놓고 $\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}$ 을 계산하면:

\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = (\mathbf{p} \times \mathbf{L}) \cdot \mathbf{r} - \mu k r

순환 항등식 $(\mathbf{p} \times \mathbf{L}) \cdot \mathbf{r} = \mathbf{L} \cdot (\mathbf{r} \times \mathbf{p}) = L^2 = \ell^2$ 이므로:

Ar\cos\theta = \ell^2 - \mu k r

$r$ 에 대해 풀면:

r = \frac{\ell^2/(\mu k)}{1 + (A/\mu k)\cos\theta} = \frac{p}{1 + e\cos\theta}

$e = A/(\mu k)$ 이다. 이 방법은 미분방정식을 풀 필요 없이 대수적으로 궤도를 유도하며, 러지-렌츠 벡터의 강력함을 보여준다. $\quad \blacksquare$

■