물리학 강의 노트

법칙4.1각운동량 보존 법칙

중심력 $\mathbf{F} = f(r)\hat{\mathbf{r}}$ 하에서 각운동량 벡터는 보존된다:

\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{r} \times f(r)\hat{\mathbf{r}} = 0

\boxed{\frac{d\mathbf{L}}{dt} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{L} = \mu\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}} = \text{const.}}

각운동량의 보존은 두 가지 결과를 함의한다:

$\mathbf{L}$ 의 방향이 일정 $\Rightarrow$ 운동이 $\mathbf{L}$ 에 수직인 평면 내에서 일어남 (궤도 평면)
$|\mathbf{L}| = \ell = \mu r^2\dot{\theta}$ 가 일정 $\Rightarrow$ 면적 속도가 일정 (케플러 제2법칙)

정의4.1궤도 평면의 결정

$\mathbf{L} = \ell\hat{\mathbf{n}}$ 에서 단위 법선 벡터 $\hat{\mathbf{n}}$ 은 궤도 평면의 방향을 결정한다. 3차원 문제가 효과적으로 2차원으로 환원된다.

구면 좌표에서 초기 조건으로 궤도 평면을 $\theta = \pi/2$ 평면에 놓으면:

\ell = \mu r^2\dot{\phi}

이 보존량이 중심력 문제를 적분 가능하게(integrable) 만드는 핵심이다. 에너지 보존과 합쳐 두 개의 보존량이 확보되어, 자유도 2인 문제(평면 운동)가 완전히 적분 가능해진다.

참고공간 회전 대칭과 각운동량

뇌터 정리에 의하면, 각운동량 보존은 라그랑지안의 회전 대칭성에서 기인한다.

중심력 퍼텐셜 $V(r)$ 은 $r = |\mathbf{r}|$ 에만 의존하므로 임의의 회전에 대해 불변이다. 이 $SO(3)$ 대칭의 생성자(generator)가 바로 각운동량의 세 성분이다.

라그랑지안에서 직접 확인하면: 구면 좌표에서 $L = \frac{1}{2}\mu(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + r^2\sin^2\theta\,\dot{\phi}^2) - V(r)$ 에서 $\phi$ 는 순환 좌표(cyclic coordinate)이므로:

p_\phi = \frac{\partial L}{\partial\dot{\phi}} = \mu r^2\sin^2\theta\,\dot{\phi} = L_z = \text{const.}

궤도 평면을 $\theta = \pi/2$ 에 놓으면 $p_\phi = \mu r^2\dot{\phi} = \ell$ 이 된다.

예제피겨 스케이팅의 회전

피겨 스케이터가 팔을 오므리면 관성 모멘트 $I$ 가 감소하고 각속도 $\omega$ 가 증가한다:

L = I\omega = \text{const.}

I_1\omega_1 = I_2\omega_2 \quad \Longrightarrow \quad \frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{I_1}{I_2}

팔을 펼쳤을 때 $I_1 \approx 4\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ , 오므렸을 때 $I_2 \approx 1\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ 이면 각속도가 4배 증가한다.

회전 운동에너지는:

T = \frac{L^2}{2I}

$I$ 가 감소하면 $T$ 가 증가하며, 증가한 에너지는 팔을 오므리는 데 한 일에서 온다.

예제원 궤도에서의 궤도 변경

반지름 $r_1$ 의 원 궤도에서 $r_2$ 의 원 궤도로 호만 전이(Hohmann transfer)를 수행하는 경우, 전이 궤도의 각운동량은:

\ell_t = \mu\sqrt{\frac{2GMr_1 r_2}{r_1 + r_2}}

이 각운동량은 초기 원 궤도의 $\ell_1 = \mu\sqrt{GMr_1}$ 과 다르므로, 궤도 변경 시 각운동량이 변해야 한다. 추력은 접선 방향으로 가해져야 최소 연료로 각운동량을 변경할 수 있다.

정의4.2러지-렌츠 벡터

역제곱 인력에는 각운동량 외에 추가적인 보존 벡터가 존재한다. 러지-렌츠 벡터(Laplace-Runge-Lenz vector)는:

\mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} - \mu k\hat{\mathbf{r}}

$\frac{d\mathbf{A}}{dt} = 0$ 임을 확인할 수 있다. 이 벡터는 근일점 방향을 가리키며 크기는:

|\mathbf{A}| = \mu k e

$\mathbf{A}$ 의 보존은 궤도가 닫히는(세차하지 않는) 이유이며, 역제곱 인력의 "숨은 대칭"을 나타낸다. 이 추가 보존량에 의해 보존량이 5개( $\mathbf{L}$ 의 3성분 + $E$ + $\mathbf{A}$ 의 독립 성분 1개)가 되어, 궤도가 해석적으로 완전히 결정된다.

참고계의 총 각운동량

$N$ 개 입자 계의 총 각운동량:

\mathbf{L} = \sum_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i = \underbrace{\mathbf{R} \times M\mathbf{V}_{\text{cm}}}_{\text{궤도}} + \underbrace{\sum_i \mathbf{r}_i' \times m_i\mathbf{v}_i'}_{\text{스핀}}

외부 토크가 영이면 $\mathbf{L}$ 이 보존된다. 내력이 뉴턴 제3법칙의 강한 형태를 만족하면 내부 토크가 영이므로, 궤도 각운동량과 스핀 각운동량의 합이 보존된다.

태양계에서 태양은 질량의 99.86%를 차지하지만, 각운동량의 약 98%는 행성들(주로 목성)의 궤도 운동에 있다. 이 "각운동량 문제"는 태양계 형성 이론의 핵심 과제이다.

각운동량 보존 (Conservation of Angular Momentum)

1. 법칙의 정식화

2. 각운동량과 궤도 평면

3. 각운동량과 대칭성

4. 각운동량 보존의 응용

5. 러지-렌츠 벡터

6. 다체계의 각운동량