물리학 강의 노트

정의5.1자유도와 일반화 좌표

$N$ 개의 입자로 구성된 계에 $k$ 개의 홀로노믹 구속 조건이 있으면, 자유도(degrees of freedom)는:

n = 3N - k

일반화 좌표(generalized coordinates) $q_1, q_2, \ldots, q_n$ 은 이 $n$ 개의 자유도를 독립적으로 기술하는 좌표의 집합이다. 각 입자의 위치는 일반화 좌표의 함수로 표현된다:

\mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i(q_1, q_2, \ldots, q_n, t), \qquad i = 1, 2, \ldots, N

예제다양한 일반화 좌표

이중 진자: 두 개의 각도 $(\theta_1, \theta_2)$ , $n = 2$

구면 위의 입자: 구면 좌표의 각도 $(\theta, \phi)$ , $n = 2$

경사면 위의 미끄러지는 쐐기: 쐐기의 수평 위치 $X$ 와 쐐기 위 물체의 위치 $s$ , $n = 2$

일반화 좌표는 데카르트 좌표일 필요가 없으며, 각도, 거리, 또는 추상적인 매개변수일 수 있다. 좋은 일반화 좌표의 선택은 구속 조건을 자동으로 만족시키며 문제를 단순화한다.

정의5.2일반화 속도와 운동량

일반화 속도(generalized velocity)는 일반화 좌표의 시간 도함수이다:

\dot{q}_k = \frac{dq_k}{dt}

일반화 운동량(generalized momentum, 켤레 운동량)은:

p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}

일반화 운동량의 차원은 일반화 좌표에 따라 다르다. $q_k$ 가 길이 차원이면 $p_k$ 는 선운동량, $q_k$ 가 각도이면 $p_k$ 는 각운동량이 된다.

정의5.3일반화 힘

일반화 힘(generalized force) $Q_k$ 는 가상일(virtual work)로부터 정의된다:

\delta W = \sum_i \mathbf{F}_i \cdot \delta\mathbf{r}_i = \sum_k Q_k\,\delta q_k

여기서 $\delta\mathbf{r}_i = \sum_k \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_k}\delta q_k$ 이므로:

Q_k = \sum_i \mathbf{F}_i \cdot \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_k}

힘이 보존력이면 $Q_k = -\frac{\partial V}{\partial q_k}$ 이다.

일반화 힘의 차원은 $[\text{에너지}]/[q_k]$ 이며, $q_k$ 가 각도이면 $Q_k$ 는 토크이다.

정의5.4배위 공간

$n$ 개의 일반화 좌표로 이루어진 $n$ 차원 공간을 배위 공간(configuration space)이라 한다. 계의 운동은 배위 공간의 한 점이 시간에 따라 그리는 경로로 표현된다:

\gamma: t \mapsto (q_1(t), q_2(t), \ldots, q_n(t))

속도 정보를 포함한 공간 $(q_1, \ldots, q_n, \dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_n)$ 은 접다발(tangent bundle) $TQ$ 라 하며, $2n$ 차원이다. 라그랑지안은 이 공간 위의 함수이다:

L: TQ \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \qquad L = L(q_1, \ldots, q_n, \dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_n, t)

참고라그랑주 방정식의 좌표 불변성

라그랑주 방정식의 가장 중요한 장점 중 하나는 좌표 변환에 대해 형태가 변하지 않는다는(covariant) 것이다.

일반화 좌표 $\{q_k\}$ 에서 새 좌표 $\{Q_k\}$ 로:

Q_k = Q_k(q_1, \ldots, q_n, t)

새 좌표에서의 라그랑지안 $\bar{L}(Q, \dot{Q}, t) = L(q(Q,t), \dot{q}(Q,\dot{Q},t), t)$ 에 대해 오일러-라그랑주 방정식:

\frac{d}{dt}\frac{\partial\bar{L}}{\partial\dot{Q}_k} - \frac{\partial\bar{L}}{\partial Q_k} = 0

은 원래 좌표에서의 오일러-라그랑주 방정식과 동치이다. 이는 뉴턴의 $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$ 를 극좌표 등에서 적용할 때 생기는 번거로움을 완전히 해소한다.

예제극좌표에서의 라그랑지안

2차원 중심력 문제의 라그랑지안을 극좌표 $(r, \theta)$ 에서 쓰면:

L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r)

오일러-라그랑주 방정식:

m\ddot{r} - mr\dot{\theta}^2 = -\frac{dV}{dr}

\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \ell = mr^2\dot{\theta} = \text{const.}

두 번째 식은 각운동량 보존이며, $\theta$ 가 순환 좌표(cyclic coordinate)이기 때문에 자동으로 나온다. 이처럼 라그랑주 방법은 보존량을 체계적으로 찾아낸다.

일반화 좌표 (Generalized Coordinates)