물리학 강의 노트

정의5.1라그랑지안

라그랑지안(Lagrangian)은 운동에너지 $T$ 와 퍼텐셜 에너지 $V$ 의 차이로 정의된다:

\boxed{L(q, \dot{q}, t) = T(q, \dot{q}, t) - V(q, t)}

여기서 $q = (q_1, \ldots, q_n)$ 은 일반화 좌표, $\dot{q} = (\dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_n)$ 은 일반화 속도이다.

라그랑지안은 계의 역학을 완전히 기술하는 스칼라 함수이며, 이로부터 운동 방정식이 오일러-라그랑주 방정식으로 유도된다.

법칙5.1해밀턴의 원리

계의 실제 운동 경로 $q(t)$ 는 작용(action) $S$ 를 정류(stationary, $\delta S = 0$ )시키는 경로이다:

S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t)\,dt

\delta S = 0

여기서 변분은 양 끝점이 고정된 경로들 사이에서 취한다: $\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$ .

예제다양한 계의 라그랑지안

단순 조화 진동자:

L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2

단진자 (길이 $\ell$ ):

L = \frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 + mg\ell\cos\theta

3차원 중심력 문제 (구면 좌표):

L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + r^2\sin^2\theta\,\dot{\phi}^2) - V(r)

하전 입자의 전자기장 내 운동:

L = \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2 - q\Phi + q\dot{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{A}

여기서 $\Phi$ 는 스칼라 퍼텐셜, $\mathbf{A}$ 는 벡터 퍼텐셜이다. 이 경우 $V$ 는 속도에 의존하는 일반화 퍼텐셜이다.

참고동치 라그랑지안

라그랑지안은 유일하지 않다. 다음 변환은 운동 방정식을 바꾸지 않는다:

상수 곱: $L' = cL$ ( $c \neq 0$ )
총 시간 도함수 더하기: $L' = L + \frac{d}{dt}F(q, t)$

두 번째 성질은:

S' = S + F(q(t_2), t_2) - F(q(t_1), t_1)

에서 추가 항이 고정된 끝점에서의 값이므로 변분에 기여하지 않기 때문이다.

이 자유도는 게이지 변환(gauge transformation)과 연관되며, 라그랑주 역학과 해밀턴 역학 모두에서 중요한 역할을 한다.

정의5.2순환 좌표

라그랑지안이 일반화 좌표 $q_k$ 에 명시적으로 의존하지 않으면, 이를 순환 좌표(cyclic coordinate) 또는 무시할 수 있는 좌표(ignorable coordinate)라 한다:

\frac{\partial L}{\partial q_k} = 0

오일러-라그랑주 방정식에서:

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} = \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0

따라서 켤레 운동량이 보존된다:

p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} = \text{const.}

이것이 뇌터 정리의 가장 간단한 적용이다.

정의5.3에너지 함수 (야코비 적분)

에너지 함수는:

h = \sum_k \dot{q}_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} - L = \sum_k \dot{q}_k p_k - L

라그랑지안이 시간에 명시적으로 의존하지 않으면:

\frac{dh}{dt} = -\frac{\partial L}{\partial t} = 0

$h$ 는 운동의 상수이다. 좌표 변환이 시간에 무관하면 운동에너지가 $\dot{q}_k$ 의 순수한 이차 형식이 되어:

h = T + V = E

그러나 시간에 의존하는 좌표 변환에서는 $h \neq T + V$ 일 수 있다.

예제구슬이 회전하는 고리 위를 미끄러지는 경우

각속도 $\omega$ 로 회전하는 수직 고리 위의 구슬. 일반화 좌표: 수직으로부터의 각도 $\theta$ .

L = \frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}mR^2\omega^2\sin^2\theta + mgR\cos\theta

$L$ 은 $t$ 에 명시적으로 의존하지 않으므로 에너지 함수가 보존:

h = \frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 - \frac{1}{2}mR^2\omega^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta = \text{const.}

그러나 이는 $T + V$ 가 아니다: $T = \frac{1}{2}mR^2(\dot{\theta}^2 + \omega^2\sin^2\theta)$ 이므로 $h = T - mR^2\omega^2\sin^2\theta - V$ 이다. 보존되는 것은 에너지가 아니라 야코비 적분이다.

라그랑지안 (The Lagrangian)

1. 정의와 구조

2. 해밀턴의 원리 (최소 작용 원리)

3. 라그랑지안의 구성

4. 라그랑지안의 비유일성

5. 순환 좌표와 보존량

6. 에너지 함수