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물리학 강의 노트

개념완성

구속 조건 (Constraints)

1. 구속 조건의 분류

정의5.1홀로노믹 구속

**홀로노믹 구속(holonomic constraint)**은 좌표와 시간만의 함수로 표현되는 구속 조건이다:

fj(q1,q2,…,qn,t)=0,j=1,2,…,kf_j(q_1, q_2, \ldots, q_n, t) = 0, \qquad j = 1, 2, \ldots, k

홀로노믹 구속은 배위 공간의 차원을 줄여, 독립 자유도의 수를 n−kn - k로 만든다.

**비홀로노믹 구속(nonholonomic constraint)**은 속도에 의존하며 적분 불가능한 형태이다:

∑iAji dqi+Bj dt=0\sum_i A_{ji}\,dq_i + B_j\,dt = 0

이 조건이 완전 미분이 아니면 (즉 적분하여 fj(q,t)=0f_j(q, t) = 0 형태로 만들 수 없으면) 비홀로노믹이다.

2. 구속의 유형

정의5.2구속 조건의 세부 분류

| 분류 기준 | 유형 | 설명 | |-----------|------|------| | 적분 가능성 | 홀로노믹 / 비홀로노믹 | 좌표만의 관계로 환원 가능 여부 | | 시간 의존성 | 스클레로노믹 / 레오노믹 | 시간에 명시적으로 의존하는지 여부 | | 부등식 | 양측 / 단측 | 등호만인지 부등식을 포함하는지 |

  • 스클레로노믹(scleronomic): f(q)=0f(q) = 0 (시간 무관)
  • 레오노믹(rheonomic): f(q,t)=0f(q, t) = 0 (시간 의존)

3. 가상 변위와 달랑베르의 원리

정의5.3달랑베르의 원리

가상 변위(virtual displacement) δri\delta\mathbf{r}_i는 구속 조건을 만족하면서 시간을 고정한 상태에서의 무한소 변위이다.

달랑베르의 원리(d'Alembert's principle):

∑i(Fi−mir¨i)⋅δri=0\sum_i (\mathbf{F}_i - m_i\ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot \delta\mathbf{r}_i = 0

이는 뉴턴의 제2법칙과 구속력이 가상 변위에 대해 일을 하지 않는다는 조건(∑ifi(c)⋅δri=0\sum_i \mathbf{f}_i^{(\text{c})} \cdot \delta\mathbf{r}_i = 0, 이상적 구속)의 결합이다.

달랑베르의 원리로부터 라그랑주 방정식을 유도할 수 있다.

4. 라그랑주 승수법

정의5.4라그랑주 승수법

홀로노믹 구속 fj(q,t)=0f_j(q, t) = 0이 있고 구속력을 명시적으로 구하고 싶으면, 라그랑주 승수(Lagrange multiplier) λj\lambda_j를 도입한다:

ddt∂L∂q˙k−∂L∂qk=∑jλj∂fj∂qk\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = \sum_j \lambda_j \frac{\partial f_j}{\partial q_k}

nn개의 운동 방정식과 kk개의 구속 방정식을 합쳐 n+kn + k개의 미지수 (q1,…,qn,λ1,…,λk)(q_1, \ldots, q_n, \lambda_1, \ldots, \lambda_k)를 결정한다.

라그랑주 승수는 구속력의 일반화 성분과 관련된다:

Qk(c)=∑jλj∂fj∂qkQ_k^{(\text{c})} = \sum_j \lambda_j \frac{\partial f_j}{\partial q_k}
예제반지름 $R$인 구면 위의 진자

구면 구속 x2+y2+z2=R2x^2 + y^2 + z^2 = R^2에서 라그랑지안:

L=12m(x˙2+y˙2+z˙2)−mgzL = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) - mgz

구속: f=x2+y2+z2−R2=0f = x^2 + y^2 + z^2 - R^2 = 0

라그랑주 방정식 + 승수:

mx¨=2λx,my¨=2λy,mz¨=−mg+2λzm\ddot{x} = 2\lambda x, \quad m\ddot{y} = 2\lambda y, \quad m\ddot{z} = -mg + 2\lambda z

구속력(장력)은 T=2λr/R=(2λR)r^\mathbf{T} = 2\lambda\mathbf{r}/R = (2\lambda R)\hat{\mathbf{r}}이므로 ∣T∣=∣2λR∣|\mathbf{T}| = |2\lambda R|이다.

에너지 보존과 함께 λ\lambda를 구하면:

2λR=−mv2R+mgcos⁡θ=−mg(3cos⁡θ−2cos⁡θ0)2\lambda R = -\frac{mv^2}{R} + mg\cos\theta = -mg(3\cos\theta - 2\cos\theta_0)

이것이 음이 되면 줄의 장력이 영이 되어 물체가 구면에서 이탈한다.

5. 비홀로노믹 구속의 예

예제미끄러짐 없이 구르는 원반

경사면 위에서 미끄러짐 없이 구르는 반지름 RR인 원반의 구속 조건:

x˙=Rθ˙\dot{x} = R\dot{\theta}

이는 적분하면 x=Rθ+const.x = R\theta + \text{const.}가 되므로 사실 홀로노믹이다.

그러나 평면 위에서 구르는 구의 경우:

x˙=Rϕ˙cos⁡ψ,y˙=Rϕ˙sin⁡ψ\dot{x} = R\dot{\phi}\cos\psi, \qquad \dot{y} = R\dot{\phi}\sin\psi

이 두 조건은 적분할 수 없으며, 진정한 비홀로노믹 구속이다. 이 경우 일반화 좌표의 수를 줄일 수 없으며, 라그랑주 방법을 직접 적용할 수 없다.

6. 구속 조건과 물리학의 구조

참고구속의 이론적 의의

구속 조건의 처리는 해석역학의 핵심 장점을 보여준다:

  1. 홀로노믹 구속 + 자유 좌표: 구속을 일반화 좌표에 내장시켜 자유도를 줄인다. 구속력이 자동으로 사라진다.

  2. 라그랑주 승수법: 구속력을 명시적으로 구해야 할 때 사용한다. 구속력이 라그랑주 승수로 나타난다.

  3. 비홀로노믹 구속: 일반적으로 더 복잡한 처리가 필요하다. 바쿠닌-차플리긴 방법 등의 특수한 기법이 사용된다.

게이지 이론에서 게이지 조건은 수학적으로 구속 조건과 동일한 구조를 가지며, 디랙의 구속 해밀턴 역학(Dirac's constrained Hamiltonian mechanics)은 양자장론의 양자화에서 핵심적인 역할을 한다.