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물리학 강의 노트

유도완성

오일러-라그랑주 방정식 유도 (Euler-Lagrange Equation Derivation)

1. 해밀턴의 원리로부터의 유도

유도변분법을 이용한 오일러-라그랑주 방정식 유도

출발점: 해밀턴의 원리 -- 작용 S=∫t1t2L(q,q˙,t) dtS = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t)\,dt의 변분이 영이다.

1단계: 실제 경로 qk(t)q_k(t)에 변분 δqk(t)=ϵηk(t)\delta q_k(t) = \epsilon\eta_k(t)를 더한다:

qk(t)→qk(t)+ϵηk(t),ηk(t1)=ηk(t2)=0q_k(t) \to q_k(t) + \epsilon\eta_k(t), \qquad \eta_k(t_1) = \eta_k(t_2) = 0

2단계: 작용의 변분을 계산한다:

δS=ddϵ∣ϵ=0S[q+ϵη]=∫t1t2(∂L∂qkδqk+∂L∂q˙kδq˙k)dt\delta S = \frac{d}{d\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0} S[q + \epsilon\eta] = \int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\delta\dot{q}_k\right) dt

3단계: 두 번째 항을 부분 적분한다. δq˙k=ddtδqk\delta\dot{q}_k = \frac{d}{dt}\delta q_k이므로:

∫t1t2∂L∂q˙kddtδqk dt=[∂L∂q˙kδqk]t1t2−∫t1t2ddt∂L∂q˙kδqk dt\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\frac{d}{dt}\delta q_k\,dt = \left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\delta q_k\right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\delta q_k\,dt

경계 조건 δqk(t1)=δqk(t2)=0\delta q_k(t_1) = \delta q_k(t_2) = 0에 의해 경계 항이 소거된다.

4단계: 결합하면:

δS=∫t1t2(∂L∂qk−ddt∂L∂q˙k)δqk dt=0\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\delta q_k\,dt = 0

5단계: δqk(t)\delta q_k(t)가 임의이므로 (변분법의 기본 보조정리), 피적분 함수가 영이어야 한다:

ddt∂L∂q˙k−∂L∂qk=0■\boxed{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0} \quad \blacksquare
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2. 달랑베르의 원리로부터의 유도

유도달랑베르 원리를 이용한 유도

달랑베르의 원리:

∑i(mir¨i−Fi)⋅δri=0\sum_i (m_i\ddot{\mathbf{r}}_i - \mathbf{F}_i) \cdot \delta\mathbf{r}_i = 0

δri=∑k∂ri∂qkδqk\delta\mathbf{r}_i = \sum_k \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_k}\delta q_k를 대입하면:

∑k[∑imir¨i⋅∂ri∂qk−∑iFi⋅∂ri∂qk]δqk=0\sum_k\left[\sum_i m_i\ddot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_k} - \sum_i \mathbf{F}_i \cdot \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_k}\right]\delta q_k = 0

두 번째 항은 일반화 힘 QkQ_k이다. 첫 번째 항을 변환한다:

∑imir¨i⋅∂ri∂qk=ddt∑imir˙i⋅∂ri∂qk−∑imir˙i⋅∂r˙i∂qk\sum_i m_i\ddot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_k} = \frac{d}{dt}\sum_i m_i\dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_k} - \sum_i m_i\dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial\dot{\mathbf{r}}_i}{\partial q_k}

항등식 ∂r˙i∂q˙k=∂ri∂qk\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}_i}{\partial\dot{q}_k} = \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_k}와 ∂r˙i∂qk=ddt∂ri∂qk\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}_i}{\partial q_k} = \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_k}을 사용하면:

=ddt∂T∂q˙k−∂T∂qk= \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_k} - \frac{\partial T}{\partial q_k}

보존력 Qk=−∂V∂qkQ_k = -\frac{\partial V}{\partial q_k}이고 VV는 q˙k\dot{q}_k에 무관하면:

ddt∂(T−V)∂q˙k−∂(T−V)∂qk=0\frac{d}{dt}\frac{\partial(T-V)}{\partial\dot{q}_k} - \frac{\partial(T-V)}{\partial q_k} = 0ddt∂L∂q˙k−∂L∂qk=0■\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 \quad \blacksquare
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3. 여러 자유도에 대한 확장

참고다자유도 계의 결합

nn 자유도 계에서 오일러-라그랑주 방정식은 nn개의 연립 2차 ODE이다. 전개하면:

∑jMkjq¨j+(낮은 차수 항)=−∂V∂qk\sum_j M_{kj}\ddot{q}_j + (\text{낮은 차수 항}) = -\frac{\partial V}{\partial q_k}

여기서 Mkj=∂2T∂q˙k∂q˙jM_{kj} = \frac{\partial^2 T}{\partial\dot{q}_k\partial\dot{q}_j}는 질량 행렬이다. MM이 양정치이면 q¨j\ddot{q}_j에 대해 유일하게 풀 수 있다:

q¨j=(M−1)jk[−∂V∂qk+⋯ ]\ddot{q}_j = (M^{-1})_{jk}\left[-\frac{\partial V}{\partial q_k} + \cdots\right]

이는 존재-유일성 정리의 조건을 만족하며, 초기 조건 qk(0)q_k(0), q˙k(0)\dot{q}_k(0)에 의해 운동이 유일하게 결정된다.

4. 장론으로의 확장

참고연속 계에 대한 오일러-라그랑주 방정식

유한 자유도에서 연속 장(field) ϕ(x,t)\phi(x, t)로 확장하면:

L→L=∫L(ϕ,∂μϕ) d3xL \to \mathcal{L} = \int \mathscr{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\,d^3x

여기서 L\mathscr{L}은 라그랑지안 밀도이다. 오일러-라그랑주 방정식은:

∂μ∂L∂(∂μϕ)−∂L∂ϕ=0\partial_\mu\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} - \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\phi} = 0

이것이 고전 장론의 기본 방정식이며, 맥스웰 방정식, 클라인-고든 방정식, 디랙 방정식 등 모든 기본 장방정식이 이 형태로부터 유도된다.