물리학 강의 노트

정의5.1연속 대칭 변환

무한소 매개변수 $\epsilon$ 에 의한 연속 변환:

q_k \to Q_k = q_k + \epsilon\,\eta_k(q, \dot{q}, t) + O(\epsilon^2)

t \to T = t + \epsilon\,\tau(q, \dot{q}, t) + O(\epsilon^2)

이 변환이 대칭이라 함은 작용이 불변인 것을 의미한다: $\delta S = 0$ .

유도뇌터 정리 증명 (시간 고정)

$\tau = 0$ 인 경우, 즉 $q_k \to q_k + \epsilon\eta_k$ , $t$ 고정.

조건: $\delta L = \frac{dF}{dt}$ (라그랑지안이 총 미분만큼 변할 수 있음)

1단계: 라그랑지안의 변분을 계산한다:

\delta L = \frac{\partial L}{\partial q_k}\epsilon\eta_k + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\epsilon\dot{\eta}_k

2단계: 오일러-라그랑주 방정식 $\frac{\partial L}{\partial q_k} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}$ 를 사용한다:

\delta L = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\epsilon\eta_k + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\epsilon\dot{\eta}_k = \epsilon\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\eta_k\right)

3단계: 조건 $\delta L = \epsilon\frac{dF}{dt}$ 와 비교하면:

\frac{d}{dt}\left(\sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\eta_k - F\right) = 0

따라서 뇌터 보존량은:

\boxed{I = \sum_k p_k\eta_k - F = \text{const.}} \quad \blacksquare

■

유도뇌터 정리의 일반 증명

시간 변환을 포함하는 경우 $q_k \to q_k + \epsilon\eta_k$ , $t \to t + \epsilon\tau$ .

작용의 변분:

\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\left[\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}\delta\dot{q}_k + \frac{dL}{dt}\delta t\right]dt + \left[L\,\delta t\right]_{t_1}^{t_2}

여기서 $\delta q_k = \epsilon\eta_k - \dot{q}_k\epsilon\tau$ (끝점 이동 효과 포함)를 대입하고, 운동 방정식이 만족된 경로에서:

\delta S = \epsilon\left[\sum_k p_k(\eta_k - \dot{q}_k\tau) + L\tau\right]_{t_1}^{t_2}

$\delta S = 0$ 이면 괄호 안의 양이 상수이다:

\boxed{I = \sum_k p_k\eta_k - \left(\sum_k p_k\dot{q}_k - L\right)\tau = \text{const.}} \quad \blacksquare

■

예제에너지 보존의 유도

시간 병진 $\delta t = \epsilon$ ( $\tau = 1$ , $\eta_k = 0$ ):

I = -\left(\sum_k p_k\dot{q}_k - L\right) = -h

$h = \sum_k p_k\dot{q}_k - L$ 이 보존된다. $\quad \blacksquare$

예제각운동량 보존의 유도

$z$ 축 주위의 무한소 회전 $\delta\phi = \epsilon$ (원통 좌표에서):

$\tau = 0$ , $\eta_\phi = 1$ 이므로:

I = p_\phi \cdot 1 = \mu r^2\dot{\phi} = L_z

라그랑지안이 $\phi$ 에 무관하면 $L_z$ 가 보존된다. $\quad \blacksquare$

참고역정리

보존량 $I(q, \dot{q}, t)$ 가 주어지면, 대응하는 대칭 변환을 구성할 수 있다. 해밀턴 역학에서 이는 더 자연스럽게 표현된다: 보존량 $I$ 에 대해:

\delta q_k = \epsilon\{q_k, I\}, \qquad \delta p_k = \epsilon\{p_k, I\}

여기서 $\{\cdot, \cdot\}$ 는 푸아송 괄호이다. 이 변환이 라그랑지안의 대칭이다.

예: $I = p_x$ 이면 $\delta x = \epsilon$ , $\delta p_x = 0$ (공간 병진) 예: $I = L_z$ 이면 $\delta x = -\epsilon y$ , $\delta y = \epsilon x$ (회전)

참고연속 계에서의 보존 전류

장론에서 뇌터 정리는 보존 전류(conserved current) $j^\mu$ 를 준다:

\partial_\mu j^\mu = 0

이를 적분하면 보존 전하(conserved charge):

Q = \int j^0\,d^3x, \qquad \frac{dQ}{dt} = 0

에너지-운동량 텐서 $T^{\mu\nu}$ 는 시공간 병진 대칭의 뇌터 전류이며:

T^{0\nu} = \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\partial^\nu\phi - \eta^{0\nu}\mathscr{L}

보존량은 $P^\nu = \int T^{0\nu}\,d^3x$ (4-운동량)이다. 이것이 일반상대론에서 에너지-운동량의 원천 역할을 하며, 아인슈타인 장방정식의 우변에 나타난다.

뇌터 정리 증명 (Noether's Theorem Proof)