오일러-라그랑주 방정식 (Euler-Lagrange Equation)

1. 법칙의 정식화

법칙5.1오일러-라그랑주 방정식

해밀턴의 원리 $\delta S = 0$ 으로부터, 계의 운동 방정식은:

\boxed{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0, \qquad k = 1, 2, \ldots, n}

이 $n$ 개의 2차 상미분방정식이 일반화 좌표 $q_k(t)$ 를 결정한다.

예제데카르트 좌표에서의 확인

$L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) - V(x,y,z)$ 에 대해:

\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}, \qquad \frac{\partial L}{\partial x} = -\frac{\partial V}{\partial x}

오일러-라그랑주 방정식:

m\ddot{x} = -\frac{\partial V}{\partial x} = F_x

이는 뉴턴의 제2법칙 $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$ 와 정확히 일치한다.

예제이중 진자

길이 $\ell_1$ , $\ell_2$ , 질량 $m_1$ , $m_2$ 인 이중 진자. 일반화 좌표 $(\theta_1, \theta_2)$ .

운동에너지와 퍼텐셜 에너지:

T = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\ell_1^2\dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2}m_2\ell_2^2\dot{\theta}_2^2 + m_2\ell_1\ell_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)

V = -(m_1+m_2)g\ell_1\cos\theta_1 - m_2 g\ell_2\cos\theta_2

소각 근사 ( $\theta_1, \theta_2 \ll 1$ )에서 오일러-라그랑주 방정식은 연립 선형 방정식이 되며, 기준 모드 분석으로 풀 수 있다. 대각 근사에서는 비선형이며, 카오스적 거동을 보인다.

정의5.1속도 의존 퍼텐셜

힘이 속도에 의존하는 경우에도, 일반화 퍼텐셜(generalized potential) $U(q, \dot{q}, t)$ 가 존재하여:

Q_k = -\frac{\partial U}{\partial q_k} + \frac{d}{dt}\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_k}

이면 라그랑지안을 $L = T - U$ 로 정의할 수 있다.

전자기력이 대표적인 예이다:

U = q\Phi - q\dot{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{A}

로렌츠 힘 $\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$ 를 올바르게 재현한다.

정의5.2레일리 소산 함수

선형 감쇠력 $F_i = -b_i\dot{q}_i$ 처럼 비보존력이 속도에 선형으로 의존하는 경우, 레일리 소산 함수(Rayleigh dissipation function)를 도입한다:

\mathcal{F} = \frac{1}{2}\sum_k b_k\dot{q}_k^2

수정된 오일러-라그랑주 방정식:

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\dot{q}_k}

에너지 소산율은 $\frac{dE}{dt} = -2\mathcal{F}$ 이다.

참고라그랑주 역학의 장점

오일러-라그랑주 방정식은 뉴턴 역학에 비해 다음과 같은 근본적 장점을 가진다:

물리학의 모든 기본 이론 -- 일반상대론, 양자장론, 표준 모형 -- 은 라그랑지안 형식으로 정식화된다. 이는 라그랑주 역학이 단순한 계산 도구가 아닌, 물리학의 기본 언어임을 보여준다.