⚛

물리학 강의 노트

법칙완성

뇌터 정리 (Noether's Theorem)

1. 정리의 서술

법칙5.2뇌터 정리

라그랑지안이 연속 대칭 변환에 대해 불변이면, 대응하는 보존량이 존재한다.

구체적으로, 무한소 변환 qk→qk+ϵ ηk(q,t)q_k \to q_k + \epsilon\,\eta_k(q, t), t→t+ϵ τ(q,t)t \to t + \epsilon\,\tau(q, t)에 대해 작용이 불변이면:

I=∑k∂L∂q˙kηk−(∑k∂L∂q˙kq˙k−L)τ=const.\boxed{I = \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\eta_k - \left(\sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\dot{q}_k - L\right)\tau = \text{const.}}

이것이 뇌터 보존량(Noether charge)이다.

2. 기본적인 대칭성-보존량 대응

정의5.1기본 대칭과 보존량

| 대칭 변환 | 라그랑지안 조건 | 보존량 | |-----------|----------------|--------| | 시간 병진 t→t+ϵt \to t + \epsilon | ∂L/∂t=0\partial L/\partial t = 0 | 에너지 h=∑kpkq˙k−Lh = \sum_k p_k\dot{q}_k - L | | 공간 병진 r→r+ϵn^\mathbf{r} \to \mathbf{r} + \epsilon\hat{\mathbf{n}} | ∂L/∂qn=0\partial L/\partial q_n = 0 | 운동량 pnp_n | | 회전 r→r+ϵn^×r\mathbf{r} \to \mathbf{r} + \epsilon\hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{r} | 등방성 | 각운동량 L⋅n^\mathbf{L} \cdot \hat{\mathbf{n}} |

3. 시간 병진과 에너지 보존

예제에너지 보존의 뇌터 유도

t→t+ϵt \to t + \epsilon (τ=1\tau = 1, ηk=0\eta_k = 0)에서 ∂L∂t=0\frac{\partial L}{\partial t} = 0이면:

I=−(∑kpkq˙k−L)=−hI = -\left(\sum_k p_k\dot{q}_k - L\right) = -h

hh가 보존된다. 좌표가 시간에 무관하면 h=T+V=Eh = T + V = E이다.

4. 공간 병진과 운동량 보존

예제선운동량 보존의 뇌터 유도

xi→xi+ϵx_i \to x_i + \epsilon (τ=0\tau = 0, ηi=1\eta_i = 1):

I=∂L∂x˙i=piI = \frac{\partial L}{\partial\dot{x}_i} = p_i

∂L∂xi=0\frac{\partial L}{\partial x_i} = 0이면 pip_i가 보존된다.

NN체 문제에서 전체 라그랑지안이 ri→ri+ϵn^\mathbf{r}_i \to \mathbf{r}_i + \epsilon\hat{\mathbf{n}}에 대해 불변이면:

∑ipi⋅n^=const.⟹P=∑imir˙i=const.\sum_i \mathbf{p}_i \cdot \hat{\mathbf{n}} = \text{const.} \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{P} = \sum_i m_i\dot{\mathbf{r}}_i = \text{const.}

5. 회전과 각운동량 보존

예제각운동량 보존의 뇌터 유도

zz축 주위의 무한소 회전 δr=ϵz^×r\delta\mathbf{r} = \epsilon\hat{\mathbf{z}} \times \mathbf{r}:

δx=−ϵy,δy=ϵx,δz=0\delta x = -\epsilon y, \quad \delta y = \epsilon x, \quad \delta z = 0

뇌터 보존량:

I=px(−y)+py(x)=xpy−ypx=LzI = p_x(-y) + p_y(x) = x p_y - y p_x = L_z

라그랑지안이 회전 대칭이면 LzL_z가 보존된다.

6. 갈릴레이 부스트와 질량 중심

참고갈릴레이 부스트의 보존량

갈릴레이 부스트 ri→ri+ϵv0t\mathbf{r}_i \to \mathbf{r}_i + \epsilon\mathbf{v}_0 t에서 라그랑지안은 엄밀히 불변이 아니지만, 총 시간 도함수의 차이만 생긴다. 이때의 보존량은:

G=MRcm−Pt=const.\mathbf{G} = M\mathbf{R}_{\text{cm}} - \mathbf{P}t = \text{const.}

이는 질량 중심이 등속 직선 운동을 한다는 것의 표현이다:

Rcm=PMt+GM\mathbf{R}_{\text{cm}} = \frac{\mathbf{P}}{M}t + \frac{\mathbf{G}}{M}

이처럼 갈릴레이 대칭의 10개 생성자(3 병진 + 3 회전 + 3 부스트 + 1 시간 병진)에 10개의 보존량(운동량, 각운동량, 질량 중심 등속 운동, 에너지)이 대응한다.

참고뇌터 정리의 현대적 의의

에미 뇌터(Emmy Noether)가 1918년에 증명한 이 정리는 물리학에서 가장 심오한 결과 중 하나이다.

현대 물리학에서 뇌터 정리의 핵심적인 역할:

  • 입자물리학: 게이지 대칭 →\to 전하 보존 (전하, 바리온 수, 렙톤 수)
  • 일반상대론: 시공간 대칭 →\to 에너지-운동량 보존
  • 양자역학: 대칭 연산자가 보존량의 생성자 역할

뇌터 정리의 역(converse)도 성립한다: 보존량이 있으면 대응하는 대칭이 존재한다. 이는 보존 법칙을 발견하는 것이 새로운 대칭을 발견하는 것과 동치임을 의미한다.