해밀토니안 (The Hamiltonian)

1. 정의

정의6.1해밀토니안

해밀토니안(Hamiltonian) $H$ 는 르장드르 변환에 의해 라그랑지안으로부터 정의된다:

\boxed{H(q, p, t) = \sum_k p_k\dot{q}_k - L(q, \dot{q}, t)}

여기서 일반화 운동량 $p_k = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}$ 를 이용하여 $\dot{q}_k$ 를 $(q, p)$ 의 함수로 표현한 후 대입한다.

해밀토니안은 위상 공간 $(q, p)$ 에서 정의된 함수이며, 라그랑지안과 동등한 역학 정보를 담고 있다.

2. 해밀토니안과 에너지의 관계

참고해밀토니안이 에너지인 조건

다음 두 조건이 모두 만족되면 $H = T + V = E$ 이다:

좌표 변환이 시간에 무관: $\mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i(q)$ (스클레로노믹 구속)
퍼텐셜이 속도에 무관: $V = V(q)$

조건 1에서 $T$ 는 $\dot{q}_k$ 의 이차 형식이므로 오일러의 동차 함수 정리에 의해:

\sum_k \dot{q}_k\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_k} = 2T

따라서:

H = 2T - (T - V) = T + V = E

조건이 만족되지 않으면 $H$ 가 보존되더라도 물리적 에너지와 다를 수 있다.

3. 주요 계의 해밀토니안

예제다양한 계의 해밀토니안

자유 입자:

H = \frac{p^2}{2m}

조화 진동자:

H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega_0^2 q^2

중심력 문제 (극좌표):

H = \frac{p_r^2}{2\mu} + \frac{p_\theta^2}{2\mu r^2} + V(r)

전자기장 내 하전 입자:

H = \frac{(\mathbf{p} - q\mathbf{A})^2}{2m} + q\Phi

주의: 여기서 $\mathbf{p}$ 는 정준 운동량이며, 기계적 운동량 $m\mathbf{v} = \mathbf{p} - q\mathbf{A}$ 와 다르다.

4. 해밀토니안의 시간 진화

정의6.2해밀토니안의 시간 도함수

해밀턴의 운동 방정식을 사용하면:

\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t}

$H$ 가 시간에 명시적으로 의존하지 않으면 ( $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$ ):

\frac{dH}{dt} = 0 \quad \Longrightarrow \quad H = \text{const.}

이는 라그랑지안의 에너지 함수 $h$ 의 보존과 동치이다.

5. 해밀턴의 원리 (위상 공간 버전)

법칙6.1수정된 해밀턴 원리

위상 공간에서 작용을 정의하면:

S[q, p] = \int_{t_1}^{t_2}\left(\sum_k p_k\dot{q}_k - H(q, p, t)\right)dt

$\delta S = 0$ 의 조건에서 해밀턴의 정준 방정식이 유도된다. 여기서 $q_k$ 와 $p_k$ 는 독립 변수로 취급된다.

이 형태에서 $p_k\dot{q}_k - H$ 를 1-형식(one-form) $\alpha = p_k\,dq_k - H\,dt$ 로 보면, $\delta S = 0$ 은 $d\alpha = 0$ 의 조건과 연결되며, 이는 심플렉틱 기하학(symplectic geometry)의 출발점이다.

6. 양자역학과의 연결

참고해밀토니안의 양자역학적 역할

양자역학에서 해밀토니안은 시간 진화의 생성자(generator of time evolution)이다:

i\hbar\frac{\partial|\psi\rangle}{\partial t} = \hat{H}|\psi\rangle

고전적 해밀토니안 $H(q, p)$ 에서 $q \to \hat{q}$ , $p \to \hat{p}$ 로 연산자를 대응시키는 정준 양자화(canonical quantization)가 양자역학의 표준적 구성 방법이다.

고전적 관측량 $A(q, p)$ 의 시간 진화:

\frac{dA}{dt} = \{A, H\} + \frac{\partial A}{\partial t}

가 양자역학에서:

\frac{d\hat{A}}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{H}] + \frac{\partial\hat{A}}{\partial t}

로 대응된다. 이 대응 $\{,\} \to \frac{1}{i\hbar}[,]$ 은 디랙이 처음 인식하였다.