위상 공간 (Phase Space)

1. 정의와 구조

정의6.1위상 공간

$n$ 자유도 계의 위상 공간(phase space)은 일반화 좌표 $q_k$ 와 켤레 운동량 $p_k$ 로 이루어진 $2n$ 차원 공간 $\Gamma$ 이다:

\Gamma = \{(q_1, \ldots, q_n, p_1, \ldots, p_n)\}

계의 순간적 상태는 위상 공간의 한 점으로 표현되며, 시간 진화는 위상 공간의 궤적(trajectory)이다.

배위 공간 $Q$ 가 $n$ 차원인 반면, 위상 공간은 $2n$ 차원이며, 수학적으로 배위 공간의 여접다발(cotangent bundle) $T^*Q$ 이다.

참고궤적의 성질

해밀턴 방정식은 1차 ODE 계이므로, 위상 공간에서의 궤적에 대해:

이는 고전역학의 결정론을 기하학적으로 표현한 것이다. 위상 공간의 한 점이 계의 완전한 정보를 담고 있다.

예제조화 진동자의 위상 초상

$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kx^2 = E$ 에서:

\frac{x^2}{2E/k} + \frac{p^2}{2mE} = 1

각 에너지 $E$ 에 대해 위상 공간의 궤적은 타원이며, 시계 방향으로 회전한다. 원점 $(0,0)$ 은 안정 평형점(타원적 고정점, elliptic fixed point)이다.

예제단진자의 위상 초상

$H = \frac{p_\theta^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta$

분리선은 불안정 평형점( $\theta = \pi$ )을 지나며, 이 근방에서 운동의 성질이 급격히 변한다.

정의6.2심플렉틱 형식

위상 공간에는 자연스러운 심플렉틱 2-형식(symplectic 2-form)이 존재한다:

\omega = \sum_k dp_k \wedge dq_k

이 2-형식은 닫혀있고( $d\omega = 0$ ), 비퇴화(non-degenerate)이다. 해밀턴 역학의 모든 구조 -- 정준 방정식, 푸아송 괄호, 리우빌 정리, 정준 변환 -- 는 이 심플렉틱 구조로부터 자연스럽게 따른다.

심플렉틱 형식은 위상 공간의 "면적 요소"를 정의하며, 이것이 리우빌 정리에서 보존되는 양이다.

정의6.3위상 공간 부피

$2n$ 차원 위상 공간의 부피 요소는:

d\Gamma = \prod_{k=1}^{n} dq_k\,dp_k

통계역학에서 미시적 상태의 수는 위상 공간 부피에 비례한다:

\Omega(E) = \int_{H \leq E} d\Gamma

상태 밀도(density of states):

g(E) = \frac{d\Omega}{dE}

고전적 분배 함수:

Z = \frac{1}{h^n}\int e^{-\beta H(q,p)}\,d\Gamma

여기서 $h$ 는 플랑크 상수이며, $1/h^n$ 인자는 양자역학적 보정(위상 공간의 최소 셀 크기)이다.

참고비적분계와 카오스

적분 가능한(integrable) 계에서 위상 공간은 불변 토러스(invariant tori)로 규칙적으로 구조화된다. $n$ 개의 독립 보존량 $I_k$ 가 존재하며, 운동은 $n$ 차원 토러스 위에서 준주기적(quasi-periodic)이다.

비적분계에서는 일부 토러스가 파괴되어 카오스 영역이 나타난다 (KAM 정리). 카오스 영역에서는:

이러한 카오스는 결정론적(위상 공간 궤적은 교차하지 않음)이지만 사실상 예측 불가능하며, 이를 결정론적 카오스(deterministic chaos)라 한다.