물리학 강의 노트

정의6.1정준 변환

정준 변환(canonical transformation)은 위상 공간의 좌표 $(q, p) \to (Q, P)$ 변환으로, 새 좌표에서도 해밀턴 방정식이 성립하는 변환이다:

\dot{Q}_k = \frac{\partial K}{\partial P_k}, \qquad \dot{P}_k = -\frac{\partial K}{\partial Q_k}

여기서 $K(Q, P, t)$ 는 변환된 해밀토니안이다. 동등하게, 심플렉틱 형식을 보존하는 변환이다:

\sum_k dP_k \wedge dQ_k = \sum_k dp_k \wedge dq_k

정의6.2생성 함수의 네 가지 유형

정준 변환은 생성 함수(generating function)에 의해 구성된다:

| 유형 | 생성 함수 | 관계식 | |------|-----------|--------| | $F_1(q, Q, t)$ | $p = \frac{\partial F_1}{\partial q}$ , $P = -\frac{\partial F_1}{\partial Q}$ | $K = H + \frac{\partial F_1}{\partial t}$ | | $F_2(q, P, t)$ | $p = \frac{\partial F_2}{\partial q}$ , $Q = \frac{\partial F_2}{\partial P}$ | $K = H + \frac{\partial F_2}{\partial t}$ | | $F_3(p, Q, t)$ | $q = -\frac{\partial F_3}{\partial p}$ , $P = -\frac{\partial F_3}{\partial Q}$ | $K = H + \frac{\partial F_3}{\partial t}$ | | $F_4(p, P, t)$ | $q = -\frac{\partial F_4}{\partial p}$ , $Q = \frac{\partial F_4}{\partial P}$ | $K = H + \frac{\partial F_4}{\partial t}$ |

서로 다른 유형은 르장드르 변환으로 연결된다: $F_2 = F_1 + QP$ 등.

예제항등 변환과 점 변환

항등 변환: $F_2 = q_kP_k$ $\Rightarrow$ $Q_k = q_k$ , $p_k = P_k$

점 변환 (배위 공간의 좌표 변환): $F_2 = f_k(q)P_k$

Q_k = f_k(q), \qquad p_k = \sum_j \frac{\partial f_j}{\partial q_k}P_j

예: 직교-극좌표 변환 $Q_1 = \sqrt{q_1^2 + q_2^2}$ , $Q_2 = \arctan(q_2/q_1)$

예제교환 변환

$F_1 = q_kQ_k$ $\Rightarrow$ $p_k = Q_k$ , $P_k = -q_k$

좌표와 운동량이 교환된다! 이는 위상 공간에서 $q$ 와 $p$ 가 대등한 역할을 함을 보여준다.

참고해밀턴-야코비 이론

모든 좌표가 순환 좌표가 되는 정준 변환을 찾으면, 변환된 해밀토니안에서:

\dot{Q}_k = \frac{\partial K}{\partial P_k} = \text{const.}, \qquad \dot{P}_k = -\frac{\partial K}{\partial Q_k} = 0

모든 $P_k = \alpha_k$ 가 상수이고 $Q_k = \beta_k + \omega_k t$ 로 선형이다. 이런 변환의 생성 함수 $S(q, P, t)$ 는 해밀턴-야코비 방정식을 만족한다:

H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0

이 $S$ 는 해밀턴의 주함수(Hamilton's principal function)이며, 고전적 작용과 관련된다. 양자역학의 WKB 근사에서 파동함수의 위상이 이 주함수에 해당한다.

정의6.3무한소 정준 변환

항등 변환에 가까운 무한소 정준 변환:

Q_k = q_k + \epsilon\{q_k, G\}, \qquad P_k = p_k + \epsilon\{p_k, G\}

여기서 $G(q, p)$ 는 변환의 생성자(generator)이다.

\delta q_k = \epsilon\frac{\partial G}{\partial p_k}, \qquad \delta p_k = -\epsilon\frac{\partial G}{\partial q_k}

시간 진화는 해밀토니안 $H$ 를 생성자로 하는 무한소 정준 변환의 연속이다:

q_k(t+dt) = q_k(t) + dt\frac{\partial H}{\partial p_k}, \qquad p_k(t+dt) = p_k(t) - dt\frac{\partial H}{\partial q_k}

즉, $H$ 는 시간 병진의 생성자이다.

참고심플렉틱 군

정준 변환의 집합은 심플렉틱 군(symplectic group)을 형성한다. 선형 정준 변환은 행렬 $M$ 으로 표현되며:

\begin{pmatrix} Q \\ P \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} q \\ p \end{pmatrix}

$M$ 이 정준이려면 $M^T J M = J$ 를 만족해야 한다:

J = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}

이를 만족하는 $2n \times 2n$ 실수 행렬의 군이 $Sp(2n, \mathbb{R})$ 이다. 이 군은 양자 광학, 입자 가속기 물리학 등에서 중요한 역할을 한다.

정준 변환 (Canonical Transformations)

1. 정의

2. 생성 함수

3. 중요한 정준 변환의 예

4. 해밀턴-야코비 방정식과의 관계

5. 무한소 정준 변환

6. 정준 변환의 군 구조