르장드르 변환을 통한 해밀턴 유도 (Legendre Transform to Hamiltonian)

1. 르장드르 변환의 수학적 배경

정의6.1르장드르 변환

볼록 함수 $f(x)$ 의 르장드르 변환(Legendre transform)은:

g(p) = \sup_x\{px - f(x)\} = p\bar{x}(p) - f(\bar{x}(p))

여기서 $\bar{x}(p)$ 는 $p = f'(x)$ 의 역함수이다. 독립 변수가 $x$ 에서 기울기 $p = f'(x)$ 로 바뀐다.

핵심 성질:

르장드르 변환은 대합(involution)이다: $(g^*)^* = f$
$f$ 가 볼록이면 $g$ 도 볼록이다
$f'' > 0$ (강볼록)이면 변환이 정칙적이다

2. 라그랑지안에서 해밀토니안으로

유도해밀토니안의 유도

라그랑지안 $L(q, \dot{q}, t)$ 에서 $\dot{q}_k$ 에 대한 르장드르 변환으로 해밀토니안을 구한다.

1단계: 켤레 운동량 정의:

p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}

이 관계는 $\dot{q}_k$ 를 $(q, p)$ 의 함수로 결정한다 (헤시안 $\frac{\partial^2 L}{\partial\dot{q}_j\partial\dot{q}_k}$ 가 비특이적이어야 함).

2단계: 르장드르 변환:

H(q, p, t) = \sum_k p_k\dot{q}_k(q, p, t) - L(q, \dot{q}(q, p, t), t)

3단계: $H$ 의 미분으로 정준 방정식 확인:

dH = \sum_k \dot{q}_k\,dp_k + \sum_k p_k\,d\dot{q}_k - \sum_k\frac{\partial L}{\partial q_k}dq_k - \sum_k\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}d\dot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t}dt

$p_k = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}$ 에 의해 $d\dot{q}_k$ 항이 소거:

dH = \sum_k \dot{q}_k\,dp_k - \sum_k\dot{p}_k\,dq_k - \frac{\partial L}{\partial t}dt

따라서:

\frac{\partial H}{\partial p_k} = \dot{q}_k, \quad \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\dot{p}_k, \quad \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} \quad \blacksquare

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3. 구체적 계에 대한 적용

예제조화 진동자

$L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}kq^2$

p = m\dot{q} \quad \Longrightarrow \quad \dot{q} = p/m

H = p\dot{q} - L = \frac{p^2}{m} - \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kq^2 = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kq^2

정준 방정식:

\dot{q} = \frac{p}{m}, \qquad \dot{p} = -kq

결합하면 $m\ddot{q} = -kq$ , 예상대로 SHM이다.

예제상대론적 자유 입자

$L = -mc^2\sqrt{1 - v^2/c^2}$

p = \frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma mv

$v = \frac{p}{\sqrt{m^2 + p^2/c^2}}$ 를 대입하면:

H = c\sqrt{p^2 + m^2c^2} = \gamma mc^2

이는 상대론적 에너지이다. $p \ll mc$ 이면 $H \approx mc^2 + \frac{p^2}{2m}$ 으로 정지 에너지 + 비상대론적 운동에너지가 된다.

4. 르장드르 변환의 정칙 조건

참고특이 라그랑지안

르장드르 변환이 정칙적(regular)이려면 헤시안 행렬:

W_{jk} = \frac{\partial^2 L}{\partial\dot{q}_j\partial\dot{q}_k}

이 비특이적( $\det W \neq 0$ )이어야 한다. $W$ 가 특이적이면 $p_k = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}$ 에서 모든 $\dot{q}_k$ 를 $p_k$ 로 풀 수 없다.

특이 라그랑지안(singular Lagrangian)의 예:

게이지 이론 (전자기학, 양-밀스 이론)
일반상대론

이 경우 디랙의 구속 해밀턴 역학(Dirac's constrained Hamiltonian formalism)이 필요하며, 1차 구속(primary constraint)과 2차 구속(secondary constraint)을 분류하여 처리한다.

5. 열역학에서의 르장드르 변환

참고역학과 열역학의 평행 구조

열역학에서도 르장드르 변환이 핵심적인 역할을 한다:

| 역학 | 열역학 | |------|--------| | $L(q, \dot{q}) \to H(q, p)$ | $U(S, V) \to H(S, P) = U + PV$ (엔탈피) | | $p = \partial L/\partial\dot{q}$ | $P = -\partial U/\partial V$ | | $\dot{q} = \partial H/\partial p$ | $V = \partial H/\partial P$ |

내부 에너지 $U(S, V)$ 에서 출발하여:

$F(T, V) = U - TS$ (헬름홀츠 자유 에너지)
$H(S, P) = U + PV$ (엔탈피)
$G(T, P) = U - TS + PV$ (깁스 자유 에너지)

모두 르장드르 변환이다. 이 수학적 평행성은 역학과 열역학 사이의 깊은 구조적 유사성을 보여준다.