해밀턴의 정준 방정식 (Hamilton's Canonical Equations)

1. 방정식의 정식화

법칙6.1해밀턴의 정준 방정식

해밀토니안 $H(q, p, t)$ 로부터 운동 방정식은 $2n$ 개의 1차 연립 상미분방정식으로 주어진다:

\boxed{\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}, \qquad \dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k}}

$k = 1, 2, \ldots, n$

이는 오일러-라그랑주 방정식( $n$ 개의 2차 ODE)과 동치이며, 위상 공간 $(q, p)$ 에서의 1차 방정식으로의 재정식화이다.

유도르장드르 변환을 통한 유도

$H = \sum_k p_k\dot{q}_k - L$ 의 미분:

dH = \sum_k \dot{q}_k\,dp_k + \sum_k p_k\,d\dot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial q_k}dq_k - \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}d\dot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t}dt

$p_k = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}$ 이므로 $d\dot{q}_k$ 항이 소거:

dH = \sum_k \dot{q}_k\,dp_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}dq_k - \frac{\partial L}{\partial t}dt

오일러-라그랑주 방정식에서 $\frac{\partial L}{\partial q_k} = \dot{p}_k$ 이므로:

dH = \sum_k \dot{q}_k\,dp_k - \sum_k \dot{p}_k\,dq_k - \frac{\partial L}{\partial t}dt

$H = H(q, p, t)$ 의 일반 미분과 비교:

dH = \sum_k \frac{\partial H}{\partial q_k}dq_k + \sum_k \frac{\partial H}{\partial p_k}dp_k + \frac{\partial H}{\partial t}dt

계수를 비교하면:

\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}, \quad \dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k}, \quad \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} \quad \blacksquare

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참고정준 방정식의 대칭성

해밀턴 방정식을 벡터 형태로 쓰면:

\dot{\mathbf{z}} = J\nabla_{\mathbf{z}} H

여기서 $\mathbf{z} = (q_1, \ldots, q_n, p_1, \ldots, p_n)^T$ 이고:

J = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}

$J$ 는 심플렉틱 행렬이며 $J^2 = -I_{2n}$ , $J^T = -J$ 이다. 이 구조는 위상 공간의 기하학적 성질을 규정한다.

$q$ 와 $p$ 가 대칭적으로 다루어지며, 교환 $q \leftrightarrow p$ 에 부호만 바뀐다. 이 대칭성은 라그랑주 방정식에는 없는 해밀턴 역학 고유의 특성이다.

예제2차원 중심력 문제

극좌표에서 $H = \frac{p_r^2}{2\mu} + \frac{p_\theta^2}{2\mu r^2} + V(r)$ :

\dot{r} = \frac{p_r}{\mu}, \qquad \dot{\theta} = \frac{p_\theta}{\mu r^2}

\dot{p}_r = \frac{p_\theta^2}{\mu r^3} - V'(r), \qquad \dot{p}_\theta = 0

$\theta$ 가 순환 좌표이므로 $p_\theta = \ell = \text{const.}$ (각운동량 보존). 나머지 방정식은 유효 1차원 문제로 환원된다.

법칙6.2수정된 해밀턴 원리

위상 공간에서의 작용:

S = \int_{t_1}^{t_2}\left(\sum_k p_k\dot{q}_k - H(q, p, t)\right)dt

$q_k$ 와 $p_k$ 를 독립 변수로 $\delta S = 0$ 을 구하면 해밀턴 방정식이 나온다. $q_k$ 변분에서 $\dot{p}_k$ 방정식, $p_k$ 변분에서 $\dot{q}_k$ 방정식이 각각 나온다.

이 형태에서 $p_k$ 에는 경계 조건이 부과되지 않는다는 점이 라그랑주 형식과의 중요한 차이이다.

참고해밀턴 역학의 현대적 의의

해밀턴 형식주의는 단순한 재정식화가 아니라, 다음과 같은 근본적 장점을 가진다:

특히 심플렉틱 적분기는 장시간 시뮬레이션에서 에너지 보존을 자동으로 보장하여, 천체역학과 분자 동역학에서 필수적으로 사용된다.