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물리학 강의 노트

법칙완성

리우빌 정리 (Liouville's Theorem)

1. 정리의 서술

법칙6.1리우빌 정리

해밀턴 역학의 시간 진화에 의해 위상 공간의 부피는 보존된다:

ddt∫R(t)dnq dnp=0\boxed{\frac{d}{dt}\int_{\mathcal{R}(t)} d^nq\,d^np = 0}

동등하게, 위상 공간의 분포 함수 ρ(q,p,t)\rho(q, p, t)에 대해:

dρdt=∂ρ∂t+{ρ,H}=0\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \{\rho, H\} = 0

이는 위상 공간의 "유체"가 비압축성(incompressible)임을 의미한다.

2. 증명

유도리우빌 정리의 증명

위상 공간의 속도장은 z˙=(q˙1,…,q˙n,p˙1,…,p˙n)\dot{\mathbf{z}} = (\dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_n, \dot{p}_1, \ldots, \dot{p}_n)이다. 부피의 시간 변화율은 발산(divergence)에 의해 결정된다:

ddt∫RdΓ=∫R(∇z⋅z˙) dΓ\frac{d}{dt}\int_{\mathcal{R}} d\Gamma = \int_{\mathcal{R}} (\nabla_{\mathbf{z}} \cdot \dot{\mathbf{z}})\,d\Gamma

발산을 계산하면:

∇z⋅z˙=∑k(∂q˙k∂qk+∂p˙k∂pk)\nabla_{\mathbf{z}} \cdot \dot{\mathbf{z}} = \sum_k\left(\frac{\partial\dot{q}_k}{\partial q_k} + \frac{\partial\dot{p}_k}{\partial p_k}\right)

해밀턴 방정식을 대입하면:

=∑k(∂2H∂qk∂pk−∂2H∂pk∂qk)=0= \sum_k\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_k\partial p_k} - \frac{\partial^2 H}{\partial p_k\partial q_k}\right) = 0

편미분의 교환 가능성에 의해 각 항이 정확히 소거된다. ■\quad \blacksquare

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3. 물리적 해석

참고리우빌 정리의 물리적 의미

리우빌 정리는 다음과 같은 근본적인 의미를 가진다:

  1. 정보 보존: 위상 공간 부피가 보존되므로, 초기 상태의 불확실성 영역은 형태가 변해도 부피는 유지된다. 고전역학에서 정보가 손실되지 않음을 의미한다.

  2. 재귀 정리(Poincaré recurrence)의 기초: 유한한 위상 공간에서 궤적은 초기 상태에 임의로 가까이 되돌아온다.

  3. 통계역학의 토대: 미시정준 앙상블에서 위상 공간의 균등 분포가 시간에 불변임을 보장한다.

4. 통계역학에서의 응용

정의6.1리우빌 방정식

위상 공간의 분포 함수 ρ(q,p,t)\rho(q, p, t)는 리우빌 방정식을 만족한다:

∂ρ∂t+∑k(∂ρ∂qkq˙k+∂ρ∂pkp˙k)=0\frac{\partial\rho}{\partial t} + \sum_k\left(\frac{\partial\rho}{\partial q_k}\dot{q}_k + \frac{\partial\rho}{\partial p_k}\dot{p}_k\right) = 0

해밀턴 방정식을 대입하면:

∂ρ∂t+{ρ,H}=0\frac{\partial\rho}{\partial t} + \{\rho, H\} = 0

정적 분포(∂ρ∂t=0\frac{\partial\rho}{\partial t} = 0)는 {ρ,H}=0\{\rho, H\} = 0을 만족하며, 이는 ρ\rho가 HH의 함수(ρ=ρ(H)\rho = \rho(H))이면 자동으로 성립한다. 미시정준 앙상블 ρ=δ(H−E)\rho = \delta(H-E)와 정준 앙상블 ρ=e−βH/Z\rho = e^{-\beta H}/Z가 이 조건을 만족한다.

5. 위상 공간 부피의 변형

예제조화 진동자 앙상블의 시간 진화

1차원 조화 진동자에서 초기에 정사각형 영역 ∣q∣≤a|q| \leq a, ∣p∣≤b|p| \leq b인 앙상블을 생각하자.

시간 tt 후 각 점은 위상 공간에서 각도 ωt\omega t만큼 회전하므로, 정사각형은 회전된 평행사변형으로 변형된다. 형태는 변하지만 면적 4ab4ab는 보존된다.

시간이 충분히 지나면 이 영역은 매우 가늘고 긴 실(filament) 형태로 변형되어 위상 공간에 복잡하게 퍼지지만, 면적은 여전히 4ab4ab이다. 이것이 "거시적 비가역성"의 기원이다: 미시적으로 가역적이고 부피가 보존되지만, 거시적으로 측정 가능한 수준에서는 비가역적으로 보인다.

6. 리우빌 정리의 한계와 확장

참고소산계와 리우빌 정리

소산력(마찰, 저항)이 있는 계는 해밀턴 형식으로 기술되지 않으며, 리우빌 정리가 성립하지 않는다. 감쇠 진동자의 경우:

∇z⋅z˙=−2γ<0\nabla_{\mathbf{z}} \cdot \dot{\mathbf{z}} = -2\gamma < 0

위상 공간 부피가 지수적으로 수축한다:

ddt∫dΓ=−2γ∫dΓ\frac{d}{dt}\int d\Gamma = -2\gamma\int d\GammaVolume(t)=Volume(0) e−2γt\text{Volume}(t) = \text{Volume}(0)\,e^{-2\gamma t}

이는 소산계의 끌개(attractor)가 위상 공간의 차원보다 낮은 차원의 부분 집합(불변 다양체)임을 반영한다. 카오스적 소산계에서는 끌개가 프랙탈(fractal) 구조를 가질 수 있으며, 이를 이상한 끌개(strange attractor)라 한다.