물리학 강의 노트

정의7.1관성 텐서

강체의 관성 텐서(moment of inertia tensor)는 2계 텐서로, 성분은:

I_{ij} = \sum_\alpha m_\alpha(\delta_{ij}|\mathbf{r}_\alpha|^2 - r_{\alpha i}r_{\alpha j})

연속 질량 분포에서:

I_{ij} = \int \rho(\mathbf{r})(\delta_{ij}r^2 - x_i x_j)\,d^3r

행렬 형태:

\mathbf{I} = \begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{pmatrix}

대각 성분은 관성 모멘트(moments of inertia), 비대각 성분은 관성 곱(products of inertia)이다.

정의7.2각운동량과 운동에너지

강체의 한 점을 기준으로 한 각운동량은:

\mathbf{L} = \mathbf{I}\boldsymbol{\omega}

성분별로: $L_i = \sum_j I_{ij}\omega_j$

회전 운동에너지:

T_{\text{rot}} = \frac{1}{2}\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{L} = \frac{1}{2}\sum_{ij} I_{ij}\omega_i\omega_j = \frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}^T\mathbf{I}\boldsymbol{\omega}

일반적으로 $\mathbf{L}$ 과 $\boldsymbol{\omega}$ 는 같은 방향이 아니다. 이것이 강체 운동이 복잡해지는 근본적 이유이다.

정의7.3주축

관성 텐서 $\mathbf{I}$ 는 실수 대칭 행렬이므로 항상 직교 대각화가 가능하다:

\mathbf{I} = R^T \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix} R

고유값 $I_1, I_2, I_3$ 를 주관성 모멘트(principal moments of inertia), 고유벡터 방향을 **주축(principal axes)**이라 한다.

주축 좌표계에서:

\mathbf{L} = I_1\omega_1\hat{\mathbf{e}}_1 + I_2\omega_2\hat{\mathbf{e}}_2 + I_3\omega_3\hat{\mathbf{e}}_3

T = \frac{1}{2}(I_1\omega_1^2 + I_2\omega_2^2 + I_3\omega_3^2)

예제대칭 물체의 관성 텐서

균일한 구 (질량 $M$ , 반지름 $R$ ):

I_1 = I_2 = I_3 = \frac{2}{5}MR^2

균일한 원기둥 (질량 $M$ , 반지름 $R$ , 높이 $h$ , 대칭축 $z$ ):

I_z = \frac{1}{2}MR^2, \qquad I_x = I_y = \frac{1}{12}M(3R^2 + h^2)

직육면체 (변 $a, b, c$ ):

I_x = \frac{M}{12}(b^2+c^2), \quad I_y = \frac{M}{12}(a^2+c^2), \quad I_z = \frac{M}{12}(a^2+b^2)

법칙7.1평행축 정리 (슈타이너 정리)

질량 중심을 지나는 축에 대한 관성 모멘트 $I_{\text{cm}}$ 과, 평행한 축(거리 $d$ )에 대한 관성 모멘트 $I$ 의 관계:

I = I_{\text{cm}} + Md^2

텐서 형태:

I_{ij} = I_{ij}^{(\text{cm})} + M(\delta_{ij}d^2 - d_id_j)

여기서 $\mathbf{d}$ 는 질량 중심에서 새 기준점까지의 벡터이다.

정의7.4관성 타원체

주축 좌표에서 $T = \frac{1}{2}(I_1\omega_1^2 + I_2\omega_2^2 + I_3\omega_3^2) = \frac{1}{2}$ 로 정규화된 면은:

I_1 x^2 + I_2 y^2 + I_3 z^2 = 1

이 타원체를 **관성 타원체(inertia ellipsoid)**라 한다. 타원체의 모양이 강체의 회전 특성을 결정한다:

강체의 자유 회전에서 $\boldsymbol{\omega}$ 벡터의 끝은 관성 타원체와 각운동량 평면의 교선 위를 움직인다 (포인소 구성, Poinsot's construction).

참고관성 텐서와 질량 분포

관성 텐서는 물체의 질량 분포를 회전 운동의 관점에서 완전히 특성화한다. 같은 관성 텐서를 가진 두 물체는 역학적으로 구별할 수 없다. 관성 텐서의 고유값은 삼각 부등식을 만족해야 한다:

I_1 + I_2 \geq I_3, \qquad I_2 + I_3 \geq I_1, \qquad I_3 + I_1 \geq I_2

등호는 질량이 한 평면에 분포한 경우(예: 판)에만 성립한다.

관성 텐서 (Inertia Tensor)