물리학 강의 노트

정의7.1오일러 각

오일러 각(Euler angles) $(\phi, \theta, \psi)$ 은 공간 고정 좌표계에서 몸체 고정 좌표계로의 회전을 기술하는 세 개의 각도이다. $zxz$ 관례(convention)에서:

회전 행렬:

R = R_z(\phi)R_{x'}(\theta)R_{z''}(\psi)

각 범위: $0 \leq \phi < 2\pi$ , $0 \leq \theta \leq \pi$ , $0 \leq \psi < 2\pi$

정의7.2각속도 성분

몸체 고정 좌표계 $(\hat{\mathbf{e}}_1, \hat{\mathbf{e}}_2, \hat{\mathbf{e}}_3)$ 에서 각속도의 성분:

\omega_1 = \dot{\phi}\sin\theta\sin\psi + \dot{\theta}\cos\psi

\omega_2 = \dot{\phi}\sin\theta\cos\psi - \dot{\theta}\sin\psi

\omega_3 = \dot{\phi}\cos\theta + \dot{\psi}

공간 고정 좌표계에서:

\omega_x = \dot{\theta}\cos\phi + \dot{\psi}\sin\theta\sin\phi

\omega_y = \dot{\theta}\sin\phi - \dot{\psi}\sin\theta\cos\phi

\omega_z = \dot{\phi} + \dot{\psi}\cos\theta

예제축대칭 팽이

$I_1 = I_2 \neq I_3$ 인 축대칭 강체의 운동에너지:

T = \frac{1}{2}I_1(\omega_1^2 + \omega_2^2) + \frac{1}{2}I_3\omega_3^2

오일러 각으로 표현하면:

T = \frac{1}{2}I_1(\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2\sin^2\theta) + \frac{1}{2}I_3(\dot{\psi} + \dot{\phi}\cos\theta)^2

중력장에서 한 점이 고정된 팽이의 라그랑지안:

L = \frac{1}{2}I_1(\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2\sin^2\theta) + \frac{1}{2}I_3(\dot{\psi} + \dot{\phi}\cos\theta)^2 - Mg\ell\cos\theta

$\phi$ 와 $\psi$ 가 순환 좌표이므로:

p_\phi = \frac{\partial L}{\partial\dot{\phi}} = I_1\dot{\phi}\sin^2\theta + I_3(\dot{\psi}+\dot{\phi}\cos\theta)\cos\theta = L_z = \text{const.}

p_\psi = \frac{\partial L}{\partial\dot{\psi}} = I_3(\dot{\psi}+\dot{\phi}\cos\theta) = L_3 = \text{const.}

에너지 보존 $E = T + V = \text{const.}$ 와 합쳐 3개의 보존량으로 문제가 완전히 적분 가능하다.

정의7.3정상 세차

대칭 팽이에서 $\theta = \text{const.}$ , $\dot{\theta} = 0$ 인 정상 세차(steady precession) 해가 존재한다:

\Omega_p = \dot{\phi} = \frac{Mg\ell}{I_3\omega_s\cos\theta - I_1\Omega_p\sin^2\theta/\cos\theta}

빠른 회전의 극한( $I_3\omega_s \gg I_1\Omega_p$ )에서:

\Omega_p \approx \frac{Mg\ell}{I_3\omega_s}

세차 각속도는 자전 속도에 반비례한다. 빠르게 회전할수록 느리게 세차한다.

참고장동 운동

일반적인 팽이 운동에서 경사각 $\theta$ 는 일정하지 않고 진동한다. 이를 장동(nutation)이라 한다. 유효 퍼텐셜:

V_{\text{eff}}(\theta) = \frac{(p_\phi - p_\psi\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta} + Mg\ell\cos\theta

$\theta$ 의 운동은 이 유효 퍼텐셜 내에서의 1차원 운동으로 환원된다. $\theta$ 가 두 전환점 $\theta_1$ 과 $\theta_2$ 사이에서 진동하며, 이에 따라 팽이의 축이 물결 모양 또는 루프 모양의 궤적을 그린다.

팽이의 축 끝이 그리는 궤적의 유형:

참고특이점과 쿼터니언

오일러 각은 $\theta = 0$ 또는 $\theta = \pi$ 에서 짐벌 잠금(gimbal lock) 특이점을 가진다. 이 지점에서 $\phi$ 와 $\psi$ 가 같은 축 주위의 회전이 되어 자유도가 하나 줄어든다.

이 문제를 피하기 위해 쿼터니언(quaternion) 표현을 사용할 수 있다. 회전을 4개의 매개변수 $(q_0, q_1, q_2, q_3)$ 로 기술하며, $q_0^2 + q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 = 1$ 구속이 있다:

R = \begin{pmatrix} q_0^2+q_1^2-q_2^2-q_3^2 & 2(q_1q_2-q_0q_3) & 2(q_1q_3+q_0q_2) \\ 2(q_1q_2+q_0q_3) & q_0^2-q_1^2+q_2^2-q_3^2 & 2(q_2q_3-q_0q_1) \\ 2(q_1q_3-q_0q_2) & 2(q_2q_3+q_0q_1) & q_0^2-q_1^2-q_2^2+q_3^2 \end{pmatrix}

쿼터니언은 특이점이 없으며 수치 안정성이 우수하여, 우주 비행체의 자세 제어와 3D 컴퓨터 그래픽에서 표준적으로 사용된다.

오일러 각 (Euler Angles)