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물리학 강의 노트

법칙완성

오일러의 강체 운동 방정식 (Euler's Rigid Body Equations)

1. 법칙의 정식화

법칙7.1오일러의 강체 운동 방정식

몸체 고정 좌표계(주축 좌표계)에서 강체의 회전 운동 방정식:

I1ω˙1−(I2−I3)ω2ω3=τ1I2ω˙2−(I3−I1)ω3ω1=τ2I3ω˙3−(I1−I2)ω1ω2=τ3\boxed{ \begin{aligned} I_1\dot{\omega}_1 - (I_2 - I_3)\omega_2\omega_3 &= \tau_1 \\ I_2\dot{\omega}_2 - (I_3 - I_1)\omega_3\omega_1 &= \tau_2 \\ I_3\dot{\omega}_3 - (I_1 - I_2)\omega_1\omega_2 &= \tau_3 \end{aligned} }

여기서 I1,I2,I3I_1, I_2, I_3은 주관성 모멘트, ωi\omega_i는 몸체축 성분의 각속도, τi\tau_i는 외부 토크의 몸체축 성분이다.

2. 유도

유도오일러 방정식의 유도

공간 고정 좌표계에서 dLdt=τ\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \boldsymbol{\tau}이다. 회전하는 몸체 좌표계에서의 시간 도함수로 변환하면:

(dLdt)space=(dLdt)body+ω×L\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_{\text{space}} = \left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_{\text{body}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{L}

주축 좌표계에서 Li=IiωiL_i = I_i\omega_i (합산 없음)이므로:

(dLdt)body=(I1ω˙1,I2ω˙2,I3ω˙3)\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_{\text{body}} = (I_1\dot{\omega}_1, I_2\dot{\omega}_2, I_3\dot{\omega}_3)ω×L=∣e^1e^2e^3ω1ω2ω3I1ω1I2ω2I3ω3∣\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{L} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{e}}_1 & \hat{\mathbf{e}}_2 & \hat{\mathbf{e}}_3 \\ \omega_1 & \omega_2 & \omega_3 \\ I_1\omega_1 & I_2\omega_2 & I_3\omega_3 \end{vmatrix}

dLdt∣body+ω×L=τ\frac{d\mathbf{L}}{dt}\bigg|_{\text{body}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{L} = \boldsymbol{\tau}를 성분별로 쓰면 오일러 방정식을 얻는다. ■\quad \blacksquare

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3. 토크 없는 자유 회전

예제축대칭 강체의 자유 회전

τ=0\boldsymbol{\tau} = 0이고 I1=I2≠I3I_1 = I_2 \neq I_3인 경우:

I1ω˙1=(I1−I3)ω2ω3I_1\dot{\omega}_1 = (I_1 - I_3)\omega_2\omega_3I1ω˙2=(I3−I1)ω3ω1I_1\dot{\omega}_2 = (I_3 - I_1)\omega_3\omega_1I3ω˙3=0⟹ω3=const.I_3\dot{\omega}_3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \omega_3 = \text{const.}

Ω=I3−I1I1ω3\Omega = \frac{I_3 - I_1}{I_1}\omega_3으로 정의하면:

ω˙1=Ωω2,ω˙2=−Ωω1\dot{\omega}_1 = \Omega\omega_2, \qquad \dot{\omega}_2 = -\Omega\omega_1

해: ω1=Acos⁡(Ωt+δ)\omega_1 = A\cos(\Omega t + \delta), ω2=Asin⁡(Ωt+δ)\omega_2 = A\sin(\Omega t + \delta)

몸체 좌표에서 ω\boldsymbol{\omega}는 대칭축 e^3\hat{\mathbf{e}}_3 주위를 각속도 Ω\Omega로 원을 그리며 회전한다. 공간에서 보면 ω\boldsymbol{\omega}와 대칭축이 모두 고정된 L\mathbf{L} 주위를 세차한다.

  • I3>I1I_3 > I_1 (편평 물체): Ω>0\Omega > 0, ω\boldsymbol{\omega}가 L\mathbf{L}과 같은 방향으로 세차
  • I3<I1I_3 < I_1 (길쭉한 물체): Ω<0\Omega < 0, 반대 방향으로 세차

4. 비대칭 강체의 자유 회전과 안정성

참고중간축 정리 (테니스 라켓 정리)

I1<I2<I3I_1 < I_2 < I_3인 비대칭 강체에서 주축 주위의 순수 회전 ω=ωie^i\boldsymbol{\omega} = \omega_i\hat{\mathbf{e}}_i (합산 없음)의 안정성을 분석하면:

  • e^1\hat{\mathbf{e}}_1 (최소 관성 모멘트 축) 주위: 안정
  • e^3\hat{\mathbf{e}}_3 (최대 관성 모멘트 축) 주위: 안정
  • e^2\hat{\mathbf{e}}_2 (중간 관성 모멘트 축) 주위: 불안정

이것이 중간축 정리(intermediate axis theorem) 또는 장크라상 효과이다.

직관적으로, 에너지 EE와 각운동량 LL이 모두 보존되므로:

2EI1≤L2≤2EI32EI_1 \leq L^2 \leq 2EI_3

이 부등식은 ω\boldsymbol{\omega}가 관성 타원체와 각운동량 타원체의 교선 위를 움직이도록 제한하며, 중간축 근방에서 이 교선이 불안정한 안장점 구조를 가진다.

5. 지구의 자유 세차

예제찬들러 요동

지구는 근사적으로 축대칭 강체이며 (I3−I1)/I1≈1/300(I_3 - I_1)/I_1 \approx 1/300이다. 자유 세차 주기는:

Tfree=2π∣Ω∣=I1I3−I12πω3≈300×1일≈10개월T_{\text{free}} = \frac{2\pi}{|\Omega|} = \frac{I_1}{I_3 - I_1}\frac{2\pi}{\omega_3} \approx 300 \times 1\text{일} \approx 10\text{개월}

이 자유 세차를 **찬들러 요동(Chandler wobble)**이라 한다. 실측 주기는 약 433일인데, 이론값 305일과의 차이는 지구가 강체가 아니라 탄성체이기 때문이다.

찬들러 요동의 진폭은 약 0.7초각(약 20m)이며, 지각 변동과 대기/해양의 각운동량 교환에 의해 유지된다.

6. 오일러 방정식의 보존량

참고에너지와 각운동량의 보존

토크가 없을 때 (τ=0\boldsymbol{\tau} = 0), 오일러 방정식은 두 보존량을 가진다:

에너지:

2T=I1ω12+I2ω22+I3ω32=const.2T = I_1\omega_1^2 + I_2\omega_2^2 + I_3\omega_3^2 = \text{const.}

각운동량의 크기:

L2=I12ω12+I22ω22+I32ω32=const.L^2 = I_1^2\omega_1^2 + I_2^2\omega_2^2 + I_3^2\omega_3^2 = \text{const.}

이 두 조건은 ω\omega 공간에서 각각 타원체를 정의하며, 궤적은 두 타원체의 교선이다 (포인소 구성). 3자유도 문제에서 2개의 보존량이 있으므로 해가 타원 함수로 표현된다.