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물리학 강의 노트

개념완성

회전 좌표계 (Rotating Frames)

1. 회전하는 기준틀에서의 시간 도함수

정의8.1회전 좌표계에서의 미분 연산자

관성 좌표계 SS에 대해 각속도 ω\boldsymbol{\omega}로 회전하는 좌표계 S′S'에서, 임의의 벡터 A\mathbf{A}의 시간 도함수는:

(dAdt)S=(dAdt)S′+ω×A\boxed{\left(\frac{d\mathbf{A}}{dt}\right)_S = \left(\frac{d\mathbf{A}}{dt}\right)_{S'} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{A}}

이를 줄여 쓰면:

A˙inertial=A˙rot+ω×A\dot{\mathbf{A}}_{\text{inertial}} = \dot{\mathbf{A}}_{\text{rot}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{A}

이 관계는 벡터의 성분이 변하는 것(회전 좌표계에서의 변화)과 기저 벡터 자체가 회전하는 것(관성 효과)을 분리한다.

2. 가속도의 변환

유도회전 좌표계에서의 가속도

위치 벡터 r\mathbf{r}에 위의 공식을 두 번 적용한다.

속도:

vin=vrot+ω×r\mathbf{v}_{\text{in}} = \mathbf{v}_{\text{rot}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}

가속도: vin\mathbf{v}_{\text{in}}에 다시 적용하면:

ain=(dvindt)rot+ω×vin\mathbf{a}_{\text{in}} = \left(\frac{d\mathbf{v}_{\text{in}}}{dt}\right)_{\text{rot}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{in}}

vin=vrot+ω×r\mathbf{v}_{\text{in}} = \mathbf{v}_{\text{rot}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}를 대입하고 정리하면:

ain=arot+2ω×vrot+ω×(ω×r)+ω˙×r\boxed{\mathbf{a}_{\text{in}} = \mathbf{a}_{\text{rot}} + 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{rot}} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}}
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3. 회전 좌표계에서의 운동 방정식

법칙8.1회전 좌표계의 운동 방정식

F=main\mathbf{F} = m\mathbf{a}_{\text{in}}을 회전 좌표계 관점에서 쓰면:

marot=F−2mω×vrot−mω×(ω×r)−mω˙×rm\mathbf{a}_{\text{rot}} = \mathbf{F} - 2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{rot}} - m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) - m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}

추가된 항들은 가상력(fictitious forces, 관성력)이다:

  • −2mω×vrot-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{rot}}: 코리올리 힘 (Coriolis force)
  • −mω×(ω×r)-m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}): 원심력 (centrifugal force)
  • −mω˙×r-m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}: 오일러 힘 (Euler force)

4. 원심력

정의8.2원심력

원심력은:

Fcf=−mω×(ω×r)=mω2ρ\mathbf{F}_{\text{cf}} = -m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) = m\omega^2\boldsymbol{\rho}

여기서 ρ\boldsymbol{\rho}는 회전축으로부터의 수직 벡터이다. 원심력은 항상 회전축에서 바깥으로 향한다.

원심 퍼텐셜:

Vcf=−12mω2ρ2V_{\text{cf}} = -\frac{1}{2}m\omega^2\rho^2

원심력은 보존력이며 Fcf=−∇Vcf\mathbf{F}_{\text{cf}} = -\nabla V_{\text{cf}}이다.

예제유효 중력과 지구의 형태

지구 표면에서 유효 중력:

geff=g+ω2ρ=−∇(Vgrav+Vcf)\mathbf{g}_{\text{eff}} = \mathbf{g} + \omega^2\boldsymbol{\rho} = -\nabla\left(V_{\text{grav}} + V_{\text{cf}}\right)

원심력에 의한 보정의 최대값(적도):

ω2Rg=(7.27×10−5)2×6.37×1069.8≈3.4×10−3\frac{\omega^2 R}{g} = \frac{(7.27\times10^{-5})^2 \times 6.37\times10^6}{9.8} \approx 3.4 \times 10^{-3}

이로 인해 적도에서의 유효 중력이 극지방보다 약 0.35% 작고, 지구가 적도 방향으로 부풀어 편평 타원체(oblate spheroid)가 된다. 편평률 f=(Req−Rpol)/Req≈1/298f = (R_{\text{eq}} - R_{\text{pol}})/R_{\text{eq}} \approx 1/298이다.

5. 라그랑주 역학에서의 회전 좌표계

참고회전 좌표계의 라그랑지안

회전 좌표계에서의 라그랑지안은 관성 좌표계의 속도를 대입하여 구할 수 있다:

L=12m∣vrot+ω×r∣2−V(r)L = \frac{1}{2}m|\mathbf{v}_{\text{rot}} + \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}|^2 - V(\mathbf{r})

전개하면:

L=12mvrot2+mvrot⋅(ω×r)+12m∣ω×r∣2−V(r)L = \frac{1}{2}m v_{\text{rot}}^2 + m\mathbf{v}_{\text{rot}} \cdot (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}) + \frac{1}{2}m|\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}|^2 - V(\mathbf{r})

두 번째 항은 코리올리 항이며, 속도에 의존하는 일반화 퍼텐셜의 형태이다. 이 라그랑지안에서 오일러-라그랑주 방정식을 구하면 가상력을 포함한 운동 방정식이 자동으로 나온다.

야코비 적분(에너지 함수):

h=12mvrot2+V−12m(ω×r)2=Erot=const.h = \frac{1}{2}m v_{\text{rot}}^2 + V - \frac{1}{2}m(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})^2 = E_{\text{rot}} = \text{const.}

이것은 회전 좌표계에서의 "에너지"이며, 야코비 상수라 불린다. 천체역학의 제한 3체 문제에서 중요한 역할을 한다.

6. 원심력의 응용

예제원심 분리기

각속도 ω\omega로 회전하는 원심 분리기에서 밀도 ρp\rho_p인 입자는 유효 "중력":

geff=ω2rg_{\text{eff}} = \omega^2 r

을 경험한다. ω=2π×50,000 rpm\omega = 2\pi \times 50{,}000\,\text{rpm}, r=0.1 mr = 0.1\,\text{m}에서:

geff=(2π×833)2×0.1≈2.7×106 m/s2≈300,000 gg_{\text{eff}} = (2\pi \times 833)^2 \times 0.1 \approx 2.7 \times 10^6\,\text{m/s}^2 \approx 300{,}000\,g

이 극한적인 "인공 중력"은 생물학에서 세포 소기관 분리, 화학에서 동위원소 분리 등에 사용된다.