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물리학 강의 노트

개념완성

가상력 (Fictitious Forces)

1. 가상력의 본질

정의8.1가상력의 정의

가상력(fictitious force, pseudo-force, 관성력)은 비관성 좌표계에서 뉴턴의 제2법칙을 유지하기 위해 도입되는 힘이다. 관성 좌표계에서는 존재하지 않으며, 좌표계의 가속에 의해 나타나는 겉보기 효과이다.

일반적인 가속 좌표계(병진 가속 + 회전)에서:

marel=F+Ffictm\mathbf{a}_{\text{rel}} = \mathbf{F} + \mathbf{F}_{\text{fict}}Ffict=−mA0−2mω×vrel−mω×(ω×r)−mω˙×r\mathbf{F}_{\text{fict}} = -m\mathbf{A}_0 - 2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{rel}} - m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) - m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}

여기서 A0\mathbf{A}_0는 좌표계 원점의 가속도이다.

2. 코리올리 힘

정의8.2코리올리 힘

코리올리 힘(Coriolis force)은:

FCor=−2mω×vrel\mathbf{F}_{\text{Cor}} = -2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{rel}}

핵심 성질:

  • 속도에 비례하고 속도에 수직 ⇒\Rightarrow 일을 하지 않음
  • 정지한 물체에는 작용하지 않음
  • 자기력 qv×Bq\mathbf{v} \times \mathbf{B}와 수학적으로 유사한 구조
예제북반구에서의 코리올리 효과

위도 λ\lambda에서 수평면 위를 움직이는 물체에 대해, 지구 자전의 수직 성분 ωz=ωsin⁡λ\omega_z = \omega\sin\lambda가 코리올리 편향을 일으킨다.

운동 방정식의 수평 성분:

x¨=2ωsin⁡λ y˙=fy˙\ddot{x} = 2\omega\sin\lambda\,\dot{y} = f\dot{y}y¨=−2ωsin⁡λ x˙=−fx˙\ddot{y} = -2\omega\sin\lambda\,\dot{x} = -f\dot{x}

여기서 f=2ωsin⁡λf = 2\omega\sin\lambda는 코리올리 매개변수(Coriolis parameter)이다.

결과: 북반구에서 운동 방향의 오른쪽으로, 남반구에서는 왼쪽으로 편향된다.

코리올리 효과의 관측:

  • 기상학: 고기압에서 시계 방향 바람 (북반구), 저기압에서 반시계 방향
  • 해류: 에크만 수송
  • 장거리 포격: 수 km의 편향
  • 푸코 진자: 진동면의 회전

3. 푸코 진자

예제푸코 진자 (Foucault pendulum)

위도 λ\lambda에서 진자의 진동면은 하루에 360°sin⁡λ360°\sin\lambda만큼 회전한다.

수평면 근사에서 운동 방정식:

x¨+ω02x=2ωsin⁡λ y˙\ddot{x} + \omega_0^2 x = 2\omega\sin\lambda\,\dot{y}y¨+ω02y=−2ωsin⁡λ x˙\ddot{y} + \omega_0^2 y = -2\omega\sin\lambda\,\dot{x}

ζ=x+iy\zeta = x + iy로 정의하면:

ζ¨+2ifζ˙+ω02ζ=0\ddot{\zeta} + 2if\dot{\zeta} + \omega_0^2\zeta = 0

f≪ω0f \ll \omega_0이면 해는:

ζ(t)=e−iftζ~(t)\zeta(t) = e^{-ift}\tilde{\zeta}(t)

여기서 ζ~(t)\tilde{\zeta}(t)는 단순 진자의 해이다. e−ifte^{-ift} 인자가 진동면의 회전을 나타내며, 회전 주기:

TFoucault=2πf=1일sin⁡λT_{\text{Foucault}} = \frac{2\pi}{f} = \frac{1\text{일}}{\sin\lambda}

극지방: 24시간, 위도 45°45°: 33.9시간, 적도: 무한대 (회전하지 않음).

4. 등가 원리와 가상력

참고가상력과 중력의 등가성

아인슈타인의 등가 원리(equivalence principle)에 따르면, 균일한 중력장의 효과는 등가속도 운동의 효과와 국소적으로 구별할 수 없다:

mg∼−mA0m\mathbf{g} \sim -m\mathbf{A}_0

이는 관성 질량과 중력 질량의 동등성에 기반하며, 일반상대론의 출발점이 된다.

엘리베이터 안의 관찰자는 다음을 구별할 수 없다:

  1. 중력장 g\mathbf{g}에 정지해 있는 경우
  2. 무중력 공간에서 −g-\mathbf{g}로 가속되는 경우

이 관점에서 중력은 "가장 근본적인 가상력"이라 볼 수 있으며, 일반상대론에서는 실제로 중력을 시공간의 곡률로 기술하여 힘의 개념 자체를 제거한다.

5. 가상력의 에너지

참고가상력과 에너지 보존

코리올리 힘은 속도에 수직이므로 일을 하지 않는다:

FCor⋅v=−2m(ω×v)⋅v=0\mathbf{F}_{\text{Cor}} \cdot \mathbf{v} = -2m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v} = 0

따라서 코리올리 힘은 운동에너지를 변화시키지 않고 방향만 바꾼다.

원심력은 보존력이며 퍼텐셜 Vcf=−12mω2ρ2V_{\text{cf}} = -\frac{1}{2}m\omega^2\rho^2을 가진다. 회전 좌표계에서의 에너지:

Erot=12mvrot2+V+Vcf=const.E_{\text{rot}} = \frac{1}{2}mv_{\text{rot}}^2 + V + V_{\text{cf}} = \text{const.}

이 보존량은 관성 좌표계의 에너지 E=12mvin2+VE = \frac{1}{2}mv_{\text{in}}^2 + V와 다르다:

Erot=E−ω⋅LE_{\text{rot}} = E - \boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{L}

여기서 L\mathbf{L}은 관성 좌표계에서의 각운동량이다.

6. 기상학에서의 응용: 지균풍

예제지균풍 (Geostrophic Wind)

대규모 기상 현상에서 기압 경도력과 코리올리 힘이 균형을 이루면:

−1ρ∇p=−2ω×v-\frac{1}{\rho}\nabla p = -2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}

수평 성분:

vg=1ρf∣∂p∂n∣v_g = \frac{1}{\rho f}\left|\frac{\partial p}{\partial n}\right|

여기서 ∂p/∂n\partial p/\partial n은 등압선에 수직 방향의 기압 변화율이다.

결과: 바람은 등압선에 평행하게 분다 (북반구에서 고기압이 오른쪽). 이것이 기상도에서 관찰되는 바람 패턴의 기본 원리이며, 로스비 수 Ro=v/(fL)≪1\text{Ro} = v/(fL) \ll 1인 대규모 유동에서 성립한다.