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물리학 강의 노트

유도완성

코리올리 힘 유도 (Coriolis Force Derivation)

1. 출발점

관성 좌표계 SS에 대해 각속도 ω\boldsymbol{\omega}로 회전하는 좌표계 S′S'에서의 운동 방정식을 유도한다.

2. 회전 좌표계에서의 가속도 유도

유도코리올리 힘의 유도

1단계: 회전하는 좌표계의 기저 벡터 e^i′(t)\hat{\mathbf{e}}_i'(t)의 시간 도함수.

e^i′\hat{\mathbf{e}}_i'는 각속도 ω\boldsymbol{\omega}로 회전하므로:

de^i′dt=ω×e^i′\frac{d\hat{\mathbf{e}}_i'}{dt} = \boldsymbol{\omega} \times \hat{\mathbf{e}}_i'

2단계: 위치 벡터의 관성 좌표계에서의 시간 도함수.

r=∑ixi′e^i′\mathbf{r} = \sum_i x_i'\hat{\mathbf{e}}_i'에서:

(drdt)S=∑ix˙i′e^i′+∑ixi′de^i′dt\left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)_S = \sum_i \dot{x}_i'\hat{\mathbf{e}}_i' + \sum_i x_i'\frac{d\hat{\mathbf{e}}_i'}{dt}=∑ix˙i′e^i′+ω×∑ixi′e^i′= \sum_i \dot{x}_i'\hat{\mathbf{e}}_i' + \boldsymbol{\omega} \times \sum_i x_i'\hat{\mathbf{e}}_i'vin=vrot+ω×r\mathbf{v}_{\text{in}} = \mathbf{v}_{\text{rot}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}

3단계: 가속도를 구하기 위해 vin\mathbf{v}_{\text{in}}을 다시 미분한다:

ain=(dvindt)S=(dvindt)S′+ω×vin\mathbf{a}_{\text{in}} = \left(\frac{d\mathbf{v}_{\text{in}}}{dt}\right)_S = \left(\frac{d\mathbf{v}_{\text{in}}}{dt}\right)_{S'} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{in}}

vin=vrot+ω×r\mathbf{v}_{\text{in}} = \mathbf{v}_{\text{rot}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}를 대입:

(dvindt)S′=arot+ω˙×r+ω×vrot\left(\frac{d\mathbf{v}_{\text{in}}}{dt}\right)_{S'} = \mathbf{a}_{\text{rot}} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{rot}}ω×vin=ω×vrot+ω×(ω×r)\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{in}} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{rot}} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})

합산하면:

ain=arot+2ω×vrot+ω×(ω×r)+ω˙×r\mathbf{a}_{\text{in}} = \mathbf{a}_{\text{rot}} + 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{rot}} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}

4단계: 뉴턴의 제2법칙 F=main\mathbf{F} = m\mathbf{a}_{\text{in}}에 대입:

marot=F−2mω×vrot−mω×(ω×r)−mω˙×r\boxed{m\mathbf{a}_{\text{rot}} = \mathbf{F} - 2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{rot}} - m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) - m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}}

코리올리 힘은 FCor=−2mω×vrot\mathbf{F}_{\text{Cor}} = -2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{\text{rot}}이다. ■\quad \blacksquare

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3. 지구 표면에서의 코리올리 편향

유도자유 낙하에서의 코리올리 편향

위도 λ\lambda에서 높이 hh로부터 자유 낙하하는 물체의 동쪽 편향을 계산한다.

지구 자전 벡터: ω=ω(cos⁡λ y^+sin⁡λ z^)\boldsymbol{\omega} = \omega(\cos\lambda\,\hat{\mathbf{y}} + \sin\lambda\,\hat{\mathbf{z}})

(여기서 x^\hat{\mathbf{x}}: 동쪽, y^\hat{\mathbf{y}}: 북쪽, z^\hat{\mathbf{z}}: 위쪽)

0차 근사: vrot(0)=−gtz^\mathbf{v}_{\text{rot}}^{(0)} = -gt\hat{\mathbf{z}}

코리올리 가속도:

aCor=−2ω×v(0)=−2ω(−gt)(cos⁡λ y^+sin⁡λ z^)×(−z^)\mathbf{a}_{\text{Cor}} = -2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{(0)} = -2\omega(-gt)(\cos\lambda\,\hat{\mathbf{y}} + \sin\lambda\,\hat{\mathbf{z}}) \times (-\hat{\mathbf{z}})=−2ωgtcos⁡λ(y^×(−z^))=2ωgtcos⁡λ x^= -2\omega gt\cos\lambda(\hat{\mathbf{y}} \times (-\hat{\mathbf{z}})) = 2\omega gt\cos\lambda\,\hat{\mathbf{x}}

동쪽 편향을 적분:

x¨=2ωgtcos⁡λ\ddot{x} = 2\omega gt\cos\lambdax˙=ωgt2cos⁡λ\dot{x} = \omega gt^2\cos\lambdax=13ωgt3cos⁡λx = \frac{1}{3}\omega gt^3\cos\lambda

낙하 시간 tf=2h/gt_f = \sqrt{2h/g}에서:

x=13ωcos⁡λ8h3g\boxed{x = \frac{1}{3}\omega\cos\lambda\sqrt{\frac{8h^3}{g}}}

h=100 mh = 100\,\text{m}, λ=45°\lambda = 45°에서: x≈1.6 cmx \approx 1.6\,\text{cm}

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4. 수평면에서의 코리올리 편향

유도수평 발사체의 코리올리 편향

위도 λ\lambda에서 수평으로 북쪽 방향으로 발사된 물체의 동쪽 편향.

수직 코리올리 성분은 ωsin⁡λ\omega\sin\lambda이므로:

x¨=2ωvsin⁡λ\ddot{x} = 2\omega v\sin\lambdax(t)=ωvsin⁡λ t2x(t) = \omega v\sin\lambda\,t^2

거리 dd를 이동하는 데 걸리는 시간 t=d/vt = d/v에서:

x=ωsin⁡λ d2vx = \omega\sin\lambda\,\frac{d^2}{v}

예: λ=45°\lambda = 45°, v=500 m/sv = 500\,\text{m/s}, d=10 kmd = 10\,\text{km}에서:

x=7.27×10−5×0.707×108500≈10.3 mx = 7.27\times10^{-5} \times 0.707 \times \frac{10^8}{500} \approx 10.3\,\text{m}

이는 군사적 장거리 포격에서 반드시 보정해야 하는 수준이다.

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5. 코리올리 힘의 자기력과의 유사성

참고코리올리 힘과 로렌츠 힘의 비교

코리올리 힘과 자기력(로렌츠 힘)은 놀라운 구조적 유사성을 가진다:

FCor=−2mω×v⟷Fmag=qv×B\mathbf{F}_{\text{Cor}} = -2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v} \quad \longleftrightarrow \quad \mathbf{F}_{\text{mag}} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}

대응: 2mω↔−qB2m\boldsymbol{\omega} \leftrightarrow -q\mathbf{B}

공통 성질:

  • 속도에 수직 ⇒\Rightarrow 일을 하지 않음
  • 원형 또는 나선형 궤적을 유도
  • 속력이 아닌 방향을 변화시킴

코리올리 효과에 의한 관성 원의 반지름(관성 진동):

ri=vf=v2ωsin⁡λr_i = \frac{v}{f} = \frac{v}{2\omega\sin\lambda}

자기력에 의한 사이클로트론 반지름:

rc=mvqBr_c = \frac{mv}{qB}

이 수학적 유사성은 회전 좌표계와 자기장이 모두 위상 공간의 심플렉틱 구조를 변형시키는 것과 관련이 있다.

6. 해양에서의 코리올리 효과

예제관성 진동과 에크만 층

해양에서 풍력이 갑자기 멈추면, 해수는 코리올리 힘에 의해 관성 원을 그리며 진동한다. 관성 진동의 주기:

Ti=2πf=2π2ωsin⁡λ=12 시간sin⁡λT_i = \frac{2\pi}{f} = \frac{2\pi}{2\omega\sin\lambda} = \frac{12\,\text{시간}}{\sin\lambda}

위도 30°30°에서 Ti=24T_i = 24시간, 위도 90°90°에서 Ti=12T_i = 12시간.

풍력과 코리올리 힘, 마찰력의 균형에서 에크만 나선(Ekman spiral)이 형성된다. 표면 해류는 풍향의 오른쪽 45°45° (북반구)로 흐르며, 깊이에 따라 시계 방향으로 회전하면서 감소한다. 에크만 층의 깊이:

dE=2Azfd_E = \sqrt{\frac{2A_z}{f}}

여기서 AzA_z는 수직 와점성 계수이다. 전체 에크만 수송은 풍향의 직각 방향(북반구에서 오른쪽)이며, 이것이 대양 순환의 기본 구동 메커니즘이다.