척도인자 (Scale Factor)

1. 정의와 물리적 의미

FLRW 계량에서 척도인자 $a(t)$ 는 우주의 팽창 또는 수축을 기술하는 시간 의존 함수로, 우주론에서 가장 핵심적인 동역학 변수이다.

정의1.2척도인자

FLRW 계량

ds^2 = -c^2\,dt^2 + a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2\,d\Omega^2 \right]

에서 $a(t)$ 를 **척도인자(scale factor)**라 한다. 공동 좌표(comoving coordinate) $r$ 로 표시된 두 점 사이의 **고유 거리(proper distance)**는

d_{\text{prop}}(t) = a(t) \cdot \chi_{12}

로 주어지며, 여기서 $\chi_{12}$ 는 두 점 사이의 공동 거리(comoving distance)이다. 관례적으로 현재 시각 $t_0$ 에서 $a(t_0) = 1$ 로 정규화한다.

2. 허블 매개변수

척도인자의 시간 변화율로부터 **허블 매개변수(Hubble parameter)**를 정의한다:

H(t) \equiv \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}

현재 시각의 값 $H_0 = H(t_0)$ 를 **허블 상수(Hubble constant)**라 하며, 관측값은:

H_0 \approx 67.4 \pm 0.5 \;\text{km}\,\text{s}^{-1}\,\text{Mpc}^{-1}

무차원 매개변수로 표현하면 $H_0 = 100\,h\;\text{km}\,\text{s}^{-1}\,\text{Mpc}^{-1}$ 이며, $h \approx 0.674$ 이다.

참고허블 시간과 허블 반지름

허블 매개변수의 역수는 우주의 특성 시간 스케일과 거리 스케일을 제공한다:

t_H \equiv \frac{1}{H_0} \approx 14.5 \;\text{Gyr}, \qquad d_H \equiv \frac{c}{H_0} \approx 4.4 \;\text{Gpc}

이들은 각각 **허블 시간(Hubble time)**과 **허블 반지름(Hubble radius)**이라 불린다. 허블 시간은 우주 나이의 대략적인 추정치를 제공하며, 허블 반지름은 후퇴 속도가 광속에 도달하는 거리를 나타낸다.

3. 적색이동과 척도인자

우주 팽창에 의해 광자의 파장이 늘어나는 현상을 **우주론적 적색이동(cosmological redshift)**이라 한다. 적색이동 $z$ 와 척도인자의 관계는 다음과 같다:

1 + z = \frac{a(t_0)}{a(t_{\text{em}})} = \frac{1}{a(t_{\text{em}})}

여기서 $t_{\text{em}}$ 은 빛이 방출된 시각이다.

유도적색이동-척도인자 관계의 유도

광원이 $t_{\text{em}}$ 에 파장 $\lambda_{\text{em}}$ 의 빛을 방출하고, 관측자가 $t_0$ 에 파장 $\lambda_{\text{obs}}$ 로 관측한다고 하자. FLRW 계량에서 빛의 영선(null geodesic) 조건 $ds^2 = 0$ 으로부터 방사 방향의 공동 거리는:

\int_{t_{\text{em}}}^{t_0} \frac{c\,dt}{a(t)} = \int_0^{r_{\text{em}}} \frac{dr}{\sqrt{1-kr^2}} = \text{const}

연속하는 두 파면(wave crest)에 대해 이 관계를 적용하면:

\int_{t_{\text{em}}}^{t_0} \frac{dt}{a(t)} = \int_{t_{\text{em}} + \delta t_{\text{em}}}^{t_0 + \delta t_0} \frac{dt}{a(t)}

$\delta t \ll t$ 이므로 적분 구간의 차이를 1차까지 전개하면:

\frac{\delta t_0}{a(t_0)} = \frac{\delta t_{\text{em}}}{a(t_{\text{em}})}

$\lambda = c\,\delta t$ 이므로:

\frac{\lambda_{\text{obs}}}{\lambda_{\text{em}}} = \frac{a(t_0)}{a(t_{\text{em}})} = 1 + z

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4. 감속 매개변수

척도인자의 2차 미분을 무차원화한 **감속 매개변수(deceleration parameter)**를 정의한다:

q(t) \equiv -\frac{\ddot{a}\,a}{\dot{a}^2} = -\frac{\ddot{a}}{aH^2}

$q > 0$ : 감속 팽창 (물질·복사 우세 시기)
$q < 0$ : 가속 팽창 (암흑에너지 우세 시기)
현재 관측값: $q_0 \approx -0.55$ , 즉 우주는 현재 가속 팽창 중이다.

5. 척도인자의 시간 진화

우주를 지배하는 에너지 성분에 따라 $a(t)$ 의 거동이 달라진다. 평탄한 우주 ( $k=0$ )에서 단일 성분이 지배할 때:

a(t) \propto t^{2/[3(1+w)]} \qquad (w \neq -1)

여기서 $w = p/\rho c^2$ 는 상태 방정식 매개변수이다.

| 성분 | $w$ | $a(t)$ | 시대 | |:---:|:---:|:---:|:---:| | 복사 | $1/3$ | $\propto t^{1/2}$ | 복사 우세기 ( $z \gtrsim 3400$ ) | | 물질 | $0$ | $\propto t^{2/3}$ | 물질 우세기 ( $3400 \gtrsim z \gtrsim 0.3$ ) | | 우주상수 | $-1$ | $\propto e^{Ht}$ | 암흑에너지 우세기 ( $z \lesssim 0.3$ ) |

예제현재 우주 나이의 추정

물질 우세 평탄 우주에서 $a \propto t^{2/3}$ 이면 $H = \dot{a}/a = 2/(3t)$ 이므로:

t_0 = \frac{2}{3H_0} \approx \frac{2}{3} \times 14.5\;\text{Gyr} \approx 9.7\;\text{Gyr}

이는 실제 우주 나이 $13.8\;\text{Gyr}$ 보다 짧다. 이 불일치는 암흑에너지에 의한 가속 팽창을 고려하면 해소된다. $\Lambda$ CDM 모형에서의 정확한 우주 나이는 다음 적분으로 구해진다:

t_0 = \int_0^1 \frac{da}{a\,H(a)} = \frac{1}{H_0}\int_0^1 \frac{da}{a\sqrt{\Omega_{r,0}\,a^{-4} + \Omega_{m,0}\,a^{-3} + \Omega_{\Lambda,0}}}

6. 공형 시간과 입자 지평선

공형 시간(conformal time) $\eta$ 를 다음과 같이 정의한다:

d\eta = \frac{dt}{a(t)}, \qquad \eta(t) = \int_0^t \frac{dt'}{a(t')}

이를 이용하면 FLRW 계량이 공형적으로 평탄한 형태가 된다:

ds^2 = a(\eta)^2\left[-c^2\,d\eta^2 + d\chi^2 + S_k(\chi)^2\,d\Omega^2\right]

**입자 지평선(particle horizon)**은 빅뱅 이후 빛이 도달할 수 있는 최대 공동 거리로 정의된다:

\chi_{\text{ph}}(t) = \int_0^t \frac{c\,dt'}{a(t')} = c\,\eta(t)

이에 대응하는 고유 거리는 $d_{\text{ph}}(t) = a(t)\,\chi_{\text{ph}}(t)$ 이다. 복사 우세기에서는 $d_{\text{ph}} = 2ct$ , 물질 우세기에서는 $d_{\text{ph}} = 3ct$ 이다.