프리드만 방정식 (Friedmann Equations)
1. 방정식의 진술
법칙 1.1 프리드만 방정식
FLRW 계량과 완전 유체(perfect fluid) 에너지-운동량 텐서를 아인슈타인 장 방정식에 대입하면, 우주의 동역학을 지배하는 두 개의 독립적인 미분 방정식을 얻는다.
제1 프리드만 방정식 (에너지 제약):
H 2 ≡ ( a ˙ a ) 2 = 8 π G 3 ρ − k c 2 a 2 + Λ c 2 3 H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3} H 2 ≡ ( a a ˙ ) 2 = 3 8 π G ρ − a 2 k c 2 + 3 Λ c 2 제2 프리드만 방정식 (가속 방정식):
a ¨ a = − 4 π G 3 ( ρ + 3 p c 2 ) + Λ c 2 3 \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3} a a ¨ = − 3 4 π G ( ρ + c 2 3 p ) + 3 Λ c 2 여기서 ρ \rho ρ p p p k k k Λ \Lambda Λ
2. 아인슈타인 장 방정식으로부터의 유도
유도 프리드만 방정식의 유도
출발점 : 아인슈타인 장 방정식
G μ ν + Λ g μ ν = 8 π G c 4 T μ ν G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu} G μν + Λ g μν = c 4 8 π G T μν FLRW 계량의 크리스토펠 기호 : d s 2 = − c 2 d t 2 + a ( t ) 2 γ i j d x i d x j ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \gamma_{ij} dx^i dx^j d s 2 = − c 2 d t 2 + a ( t ) 2 γ ij d x i d x j
Γ 0 i j = a a ˙ c 2 γ i j , Γ i 0 j = a ˙ a δ i j \Gamma^0{}_{ij} = \frac{a\dot{a}}{c^2}\gamma_{ij}, \qquad \Gamma^i{}_{0j} = \frac{\dot{a}}{a}\delta^i{}_j Γ 0 ij = c 2 a a ˙ γ ij , Γ i 0 j = a a ˙ δ i j 리치 텐서 성분 :
R 00 = − 3 a ¨ a R_{00} = -3\frac{\ddot{a}}{a} R 00 = − 3 a a ¨ R i j = ( a a ¨ c 2 + 2 a ˙ 2 c 2 + 2 k ) γ i j R_{ij} = \left(\frac{a\ddot{a}}{c^2} + \frac{2\dot{a}^2}{c^2} + 2k\right)\gamma_{ij} R ij = ( c 2 a a ¨ + c 2 2 a ˙ 2 + 2 k ) γ ij 리치 스칼라 :
R = 6 c 2 ( a ¨ a + a ˙ 2 a 2 + k c 2 a 2 ) R = \frac{6}{c^2}\left(\frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{kc^2}{a^2}\right) R = c 2 6 ( a a ¨ + a 2 a ˙ 2 + a 2 k c 2 ) 완전 유체의 에너지-운동량 텐서 : 공동 좌표계에서
T μ ν = ( ρ + p c 2 ) u μ u ν + p g μ ν T^{\mu\nu} = \left(\rho + \frac{p}{c^2}\right)u^\mu u^\nu + p\,g^{\mu\nu} T μν = ( ρ + c 2 p ) u μ u ν + p g μν ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
G 00 + Λ g 00 = 8 π G c 4 T 00 G_{00} + \Lambda g_{00} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{00} G 00 + Λ g 00 = c 4 8 π G T 00 3 ( a ˙ 2 a 2 + k c 2 a 2 ) − Λ c 2 = 8 π G ρ 3\left(\frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{kc^2}{a^2}\right) - \Lambda c^2 = 8\pi G\rho 3 ( a 2 a ˙ 2 + a 2 k c 2 ) − Λ c 2 = 8 π Gρ 이를 정리하면 제1 프리드만 방정식 을 얻는다:
( a ˙ a ) 2 = 8 π G 3 ρ − k c 2 a 2 + Λ c 2 3 \boxed{\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}} ( a a ˙ ) 2 = 3 8 π G ρ − a 2 k c 2 + 3 Λ c 2 ( i , j ) (i,j) ( i , j )
G i j + Λ g i j = 8 π G c 4 T i j G_{ij} + \Lambda g_{ij} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{ij} G ij + Λ g ij = c 4 8 π G T ij − ( 2 a a ¨ + a ˙ 2 + k c 2 ) γ i j + Λ c 2 a 2 γ i j = 8 π G c 2 p a 2 γ i j -\left(2a\ddot{a} + \dot{a}^2 + kc^2\right)\gamma_{ij} + \Lambda c^2 a^2\gamma_{ij} = \frac{8\pi G}{c^2}\,p\,a^2\gamma_{ij} − ( 2 a a ¨ + a ˙ 2 + k c 2 ) γ ij + Λ c 2 a 2 γ ij = c 2 8 π G p a 2 γ ij 제1 방정식을 이용하여 a ˙ 2 \dot{a}^2 a ˙ 2 제2 프리드만 방정식 을 얻는다:
a ¨ a = − 4 π G 3 ( ρ + 3 p c 2 ) + Λ c 2 3 \boxed{\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}} a a ¨ = − 3 4 π G ( ρ + c 2 3 p ) + 3 Λ c 2 ■
3. 유체 방정식 (연속 방정식)
두 프리드만 방정식을 결합하면 (또는 ∇ μ T μ ν = 0 \nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0 ∇ μ T μν = 0 유체 방정식 을 얻는다:
ρ ˙ + 3 H ( ρ + p c 2 ) = 0 \dot{\rho} + 3H\left(\rho + \frac{p}{c^2}\right) = 0 ρ ˙ + 3 H ( ρ + c 2 p ) = 0 이것은 열역학 제1법칙 d ( ρ c 2 V ) = − p d V d(ρc^2 V) = -p\,dV d ( ρ c 2 V ) = − p d V V ∝ a 3 V \propto a^3 V ∝ a 3
d d t ( ρ a 3 ) = − p c 2 d d t ( a 3 ) \frac{d}{dt}(\rho a^3) = -\frac{p}{c^2}\frac{d}{dt}(a^3) d t d ( ρ a 3 ) = − c 2 p d t d ( a 3 ) 참고 세 방정식의 독립성
프리드만 방정식 2개와 유체 방정식 1개, 총 3개의 방정식 중 독립적인 것은 2개뿐 이다. 세 번째는 나머지 둘로부터 유도된다. 따라서 미지수 a ( t ) a(t) a ( t ) ρ ( t ) \rho(t) ρ ( t ) p ( t ) p(t) p ( t ) 상태방정식 (equation of state) p = p ( ρ ) p = p(\rho) p = p ( ρ )
4. 상태방정식과 밀도 진화
상태방정식 p = w ρ c 2 p = w\rho c^2 p = wρ c 2 w = const w = \text{const} w = const
ρ ˙ + 3 H ( 1 + w ) ρ = 0 ⟹ ρ ∝ a − 3 ( 1 + w ) \dot{\rho} + 3H(1+w)\rho = 0 \quad \Longrightarrow \quad \rho \propto a^{-3(1+w)} ρ ˙ + 3 H ( 1 + w ) ρ = 0 ⟹ ρ ∝ a − 3 ( 1 + w ) | 성분 | w w w ρ ( a ) \rho(a) ρ ( a ) 0 0 0 ∝ a − 3 \propto a^{-3} ∝ a − 3 ∝ a − 3 \propto a^{-3} ∝ a − 3 1 / 3 1/3 1/3 ∝ a − 4 \propto a^{-4} ∝ a − 4 ∝ a − 3 \propto a^{-3} ∝ a − 3 ∝ a − 1 \propto a^{-1} ∝ a − 1 − 1 -1 − 1 const \text{const} const − 1 / 3 -1/3 − 1/3 ∝ a − 2 \propto a^{-2} ∝ a − 2
5. 뉴턴역학적 유도
유도 프리드만 방정식의 뉴턴역학적 유도
균일한 밀도 ρ \rho ρ r = a ( t ) x r = a(t)\,x r = a ( t ) x x x x m m m
에너지 보존 :
1 2 m r ˙ 2 − G m M ( r ) r = E \frac{1}{2}m\dot{r}^2 - \frac{GmM(r)}{r} = E 2 1 m r ˙ 2 − r G m M ( r ) = E M ( r ) = 4 3 π r 3 ρ M(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho M ( r ) = 3 4 π r 3 ρ r ˙ = a ˙ x \dot{r} = \dot{a}\,x r ˙ = a ˙ x
1 2 a ˙ 2 x 2 − 4 π G 3 ρ a 2 x 2 = E m \frac{1}{2}\dot{a}^2 x^2 - \frac{4\pi G}{3}\rho\,a^2 x^2 = \frac{E}{m} 2 1 a ˙ 2 x 2 − 3 4 π G ρ a 2 x 2 = m E x 2 x^2 x 2 E / m = − k c 2 x 2 / 2 E/m = -kc^2 x^2/2 E / m = − k c 2 x 2 /2
( a ˙ a ) 2 = 8 π G 3 ρ − k c 2 a 2 \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} ( a a ˙ ) 2 = 3 8 π G ρ − a 2 k c 2 이것이 제1 프리드만 방정식이다 (Λ = 0 \Lambda = 0 Λ = 0 E E E k k k
뉴턴의 운동 방정식 (F = m a F = ma F = ma
m r ¨ = − G m M ( r ) r 2 ⟹ a ¨ a = − 4 π G 3 ρ m\ddot{r} = -\frac{GmM(r)}{r^2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\rho m r ¨ = − r 2 G m M ( r ) ⟹ a a ¨ = − 3 4 π G ρ 압력의 기여를 일반상대론적으로 보정하면 제2 프리드만 방정식이 된다. 뉴턴역학에서 압력이 빠지는 것은, 균일 유체에서 압력 구배가 0 0 0 ρ → ρ + 3 p / c 2 \rho \to \rho + 3p/c^2 ρ → ρ + 3 p / c 2
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6. 주요 해
6.1 드 시터 우주 (de Sitter Universe)
ρ = p = 0 \rho = p = 0 ρ = p = 0 Λ > 0 \Lambda > 0 Λ > 0
a ( t ) = a 0 exp ( Λ c 2 3 t ) a(t) = a_0\,\exp\!\left(\sqrt{\frac{\Lambda c^2}{3}}\;t\right) a ( t ) = a 0 exp ( 3 Λ c 2 t ) 이는 인플레이션 시기와 먼 미래 우주의 근사적 기술이다.
6.2 아인슈타인-드 시터 모형 (Einstein–de Sitter)
k = 0 k = 0 k = 0 Λ = 0 \Lambda = 0 Λ = 0
a ( t ) = ( t t 0 ) 2 / 3 , t 0 = 2 3 H 0 a(t) = \left(\frac{t}{t_0}\right)^{2/3}, \qquad t_0 = \frac{2}{3H_0} a ( t ) = ( t 0 t ) 2/3 , t 0 = 3 H 0 2 6.3 복사 우세 우주
k = 0 k = 0 k = 0 Λ = 0 \Lambda = 0 Λ = 0
a ( t ) = ( t t 0 ) 1 / 2 , t 0 = 1 2 H 0 a(t) = \left(\frac{t}{t_0}\right)^{1/2}, \qquad t_0 = \frac{1}{2H_0} a ( t ) = ( t 0 t ) 1/2 , t 0 = 2 H 0 1