재결합 (Recombination)

1. 정의

정의3.1재결합

**재결합(recombination)**은 우주 팽창에 의해 온도가 충분히 낮아져 자유 전자가 양성자와 결합하여 중성 수소를 형성하는 과정이다. 이 과정은 적색이동 $z \approx 1100$ ( $T \approx 3000\;\text{K}$ , $t \approx 380{,}000\;\text{yr}$ )에서 발생하며, 우주가 불투명에서 투명으로 전환되는 **마지막 산란 시기(epoch of last scattering)**를 정의한다.

참고명칭에 대한 주의

"재결합"이라는 명칭은 역사적 관습에 의한 것으로, 실제로 전자와 양성자가 처음으로 결합하는 과정이다. "재(re-)"라는 접두사는 실험실 플라즈마 물리학에서 빌려온 용어이며, 우주론적 맥락에서는 오해를 불러일으킬 수 있다.

2. 사하 방정식에 의한 분석

2.1 전리 분율

수소의 전리 분율(ionization fraction) $x_e \equiv n_e/n_H$ 를 정의하자. 열적 평형에서 이온화 반응 $\text{H} \leftrightarrow p + e^-$ 에 대한 **사하 방정식(Saha equation)**은:

\frac{x_e^2}{1 - x_e} = \frac{1}{n_H}\left(\frac{m_e k_B T}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}\exp\!\left(-\frac{B_1}{k_B T}\right)

여기서 $B_1 = 13.6\;\text{eV}$ 는 수소의 이온화 에너지이다.

유도사하 방정식의 유도

열적 평형에서 화학 퍼텐셜 조건 $\mu_{\text{H}} = \mu_p + \mu_e$ 가 성립한다. 비상대론적 이상 기체 근사에서 각 입자종의 수 밀도는:

n_i = g_i\left(\frac{m_i k_B T}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}\exp\!\left(\frac{\mu_i - m_i c^2}{k_B T}\right)

비 $n_p n_e / n_{\text{H}}$ 를 구하면:

\frac{n_p n_e}{n_{\text{H}}} = \frac{g_p g_e}{g_{\text{H}}}\left(\frac{m_e k_B T}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}\exp\!\left(-\frac{B_1}{k_B T}\right)

전하 중성 조건 $n_e = n_p$ 와 $n_H = n_p + n_{\text{H}}$ (여기서 $n_H$ 는 전체 수소 수밀도)를 사용하고, 통계적 무게 $g_p = g_e = 2$ , $g_{\text{H}} = 4$ (바닥 상태)를 대입하면 위의 사하 방정식을 얻는다.

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2.2 재결합 온도의 추정

$x_e = 0.5$ (절반 이온화)로 놓으면:

\frac{0.25}{0.5} = \frac{1}{n_H}\left(\frac{m_e k_B T}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}\exp\!\left(-\frac{B_1}{k_B T}\right)

$n_H = \eta\,n_\gamma = \eta \times 2\zeta(3)(k_B T)^3/(\pi^2\hbar^3 c^3)$ 를 대입하고 수치적으로 풀면:

T_{\text{rec}} \approx 3740\;\text{K}, \qquad z_{\text{rec}} \approx 1370

참고사하 방정식의 한계

사하 방정식은 열적 평형을 가정하지만, 실제 재결합 과정은 평형에서 벗어난다. 그 이유는:

바닥 상태( $n=1$ )로의 직접 재결합에서 방출되는 Lyman- $\alpha$ 광자가 인접 수소를 즉시 이온화시킨다.
따라서 실질적인 재결합은 여기 상태( $n \geq 2$ )를 통한 간접 경로로 진행된다.
결과적으로 실제 재결합은 사하 예측보다 느리게 진행되어, 잔여 전리 분율이 $x_e \sim 10^{-3}$ 에서 동결된다.

3. 페블스의 3-준위 모형

실제 재결합을 기술하려면 비평형 동역학이 필요하다. Peebles (1968)의 유효 3-준위 모형에서 전리 분율의 진화 방정식은:

\frac{dx_e}{dt} = -\mathcal{C}\left[\alpha^{(2)}(T) n_H x_e^2 - \beta^{(2)}(T)(1 - x_e)\exp\!\left(-\frac{B_1 - B_2}{k_B T}\right)\right]

여기서:

$\alpha^{(2)}(T)$ : 여기 상태( $n \geq 2$ )로의 재결합 계수
$\beta^{(2)}(T)$ : $n = 2$ 로부터의 광이온화율
$B_2 = B_1/4 = 3.4\;\text{eV}$ : $n=2$ 상태의 이온화 에너지
$\mathcal{C}$ : 페블스 C-인자(Peebles C-factor)

\mathcal{C} = \frac{\Lambda_{2s\to1s} + \Lambda_\alpha}{\Lambda_{2s\to1s} + \Lambda_\alpha + \beta^{(2)}}

$\Lambda_{2s\to1s} = 8.23\;\text{s}^{-1}$ : 2광자 전이율 ( $2s \to 1s + 2\gamma$ )
$\Lambda_\alpha$ : Lyman- $\alpha$ 탈출률 (우주 팽창에 의한 적색이동으로 Ly $\alpha$ 광자가 공명으로부터 이탈하는 율)

\Lambda_\alpha = \frac{8\pi H}{3n_{1s}\lambda_\alpha^3}

4. 마지막 산란면

재결합 과정에서 광자의 평균자유경로가 급격히 증가한다. **광학 깊이(optical depth)**는:

\tau(\eta) = \int_\eta^{\eta_0} n_e\,\sigma_T\,a\,d\eta'

여기서 $\sigma_T = 6.65 \times 10^{-29}\;\text{m}^2$ 는 톰슨 산란 단면적이다. **가시성 함수(visibility function)**를 다음과 같이 정의한다:

g(\eta) = -\dot{\tau}\,e^{-\tau} = n_e\,\sigma_T\,a\,e^{-\tau}

이는 광자가 마지막으로 산란된 시각의 확률 분포를 나타낸다.

예제마지막 산란면의 폭

가시성 함수 $g(\eta)$ 는 적색이동 $z_* \approx 1090$ 에서 피크를 가지며, 반치폭은 $\Delta z \approx 80$ 이다. 이는 공동 거리로:

\Delta\chi \approx 14\;\text{Mpc}

에 해당한다. 따라서 마지막 산란면은 두께가 유한한 "쉘(shell)"이다. 이 유한한 두께는 작은 각도 스케일에서 CMB 비등방성을 감쇠시키는 **실크 감쇠(Silk damping)**에 기여한다.

5. 현대적 재결합 코드

정밀 우주론 시대에는 사하 방정식이나 3-준위 모형으로는 불충분하며, 수백 개의 수소·헬륨 에너지 준위와 복잡한 복사 전달을 포함하는 정밀 코드가 필요하다:

RECFAST (Seager, Sasselov & Scott, 1999): 유효 다준위 원자 모형
CosmoRec (Chluba & Thomas, 2011): 상세한 복사 전달 포함
HyRec (Ali-Haïmoud & Hirata, 2011): 높은 정밀도의 재결합 역사

이들 코드의 주요 물리적 보정 항목:

\delta x_e / x_e \lesssim 0.1\%

수준의 정밀도가 필요하며, 여기에는 2광자 전이, 라만 산란, 자극 재결합, 헬륨 재결합의 피드백 등이 포함된다.

6. 헬륨 재결합

수소 재결합 이전에 헬륨의 재결합이 두 단계로 진행된다:

\text{He}^{++} \to \text{He}^+ \quad \text{at} \quad z \approx 6000 \quad (T \approx 16{,}000\;\text{K})

\text{He}^+ \to \text{He} \quad \text{at} \quad z \approx 2000 \quad (T \approx 5500\;\text{K})

참고헬륨 재결합의 CMB 효과

헬륨의 첫 번째 재결합( $\text{He}^{++} \to \text{He}^+$ )은 CMB 파워 스펙트럼에 $\sim 1\%$ 수준의 효과를 미치며, Planck 정밀도에서는 반드시 고려해야 한다. 헬륨 재결합 중 방출되는 광자 스펙트럼은 CMB의 미세한 스펙트럼 왜곡에 기여하며, 이는 미래 실험(예: PIXIE/PRISM 개념)에서 검출 가능할 것으로 예측된다.