비등방성 (Anisotropy)
1. 정의
정의 3.2 CMB 비등방성
우주배경복사(CMB) 비등방성 은 CMB 온도의 방향 의존성으로, 평균 온도 T 0 = 2.7255 K T_0 = 2.7255\;\text{K} T 0 = 2.7255 K
Δ T ( n ^ ) T 0 ≡ T ( n ^ ) − T 0 T 0 \frac{\Delta T(\hat{n})}{T_0} \equiv \frac{T(\hat{n}) - T_0}{T_0} T 0 Δ T ( n ^ ) ≡ T 0 T ( n ^ ) − T 0 여기서 n ^ \hat{n} n ^ Δ T / T ∼ 10 − 5 \Delta T/T \sim 10^{-5} Δ T / T ∼ 1 0 − 5
2. 구면 조화 전개
CMB 온도장을 구면 조화 함수(spherical harmonics)로 전개한다:
Δ T ( n ^ ) T 0 = ∑ ℓ = 1 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ a ℓ m Y ℓ m ( n ^ ) \frac{\Delta T(\hat{n})}{T_0} = \sum_{\ell=1}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} a_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\hat{n}) T 0 Δ T ( n ^ ) = ℓ = 1 ∑ ∞ m = − ℓ ∑ ℓ a ℓ m Y ℓ m ( n ^ ) 통계적 등방성을 가정하면 ⟨ a ℓ m ⟩ = 0 \langle a_{\ell m} \rangle = 0 ⟨ a ℓ m ⟩ = 0
⟨ a ℓ m ∗ a ℓ ′ m ′ ⟩ = C ℓ δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ \langle a_{\ell m}^* a_{\ell' m'} \rangle = C_\ell\,\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'} ⟨ a ℓ m ∗ a ℓ ′ m ′ ⟩ = C ℓ δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ 여기서 C ℓ C_\ell C ℓ
3. 비등방성의 물리적 기원
3.1 1차 비등방성 (Primary Anisotropy)
마지막 산란면에서 생성되는 비등방성으로, 주요 기여는 다음과 같다.
삭스-볼프 효과 (Sachs–Wolfe Effect)
큰 각도 스케일(ℓ ≲ 30 \ell \lesssim 30 ℓ ≲ 30 Φ \Phi Φ
Δ T T ∣ SW = 1 3 Φ ( x ls , t ls ) \left.\frac{\Delta T}{T}\right|_{\text{SW}} = \frac{1}{3}\Phi(\mathbf{x}_{\text{ls}}, t_{\text{ls}}) T Δ T SW = 3 1 Φ ( x ls , t ls ) 여기서 1 / 3 1/3 1/3 δ T / T = − 2 Φ / 3 \delta T/T = -2\Phi/3 δ T / T = − 2Φ/3 Φ \Phi Φ
Δ T T ∣ SW = ( − 2 3 Φ ) + Φ = 1 3 Φ \left.\frac{\Delta T}{T}\right|_{\text{SW}} = \left(-\frac{2}{3}\Phi\right) + \Phi = \frac{1}{3}\Phi T Δ T SW = ( − 3 2 Φ ) + Φ = 3 1 Φ 음향 진동 (Acoustic Oscillations)
중간 각도 스케일(30 ≲ ℓ ≲ 2000 30 \lesssim \ell \lesssim 2000 30 ≲ ℓ ≲ 2000 피크 구조 를 만든다:
Δ T T ∣ acoustic ≈ [ Θ 0 + Φ ] ( η ∗ , k ) cos ( k r s ) + v b c sin ( k r s ) \left.\frac{\Delta T}{T}\right|_{\text{acoustic}} \approx \left[\Theta_0 + \Phi\right](\eta_*, \mathbf{k})\cos(k r_s) + \frac{v_b}{c}\sin(k r_s) T Δ T acoustic ≈ [ Θ 0 + Φ ] ( η ∗ , k ) cos ( k r s ) + c v b sin ( k r s ) 여기서:
Θ 0 \Theta_0 Θ 0 r s ( η ∗ ) r_s(\eta_*) r s ( η ∗ ) 음향 지평선(sound horizon)
r s ( η ∗ ) = ∫ 0 η ∗ c s d η r_s(\eta_*) = \int_0^{\eta_*} c_s\,d\eta r s ( η ∗ ) = ∫ 0 η ∗ c s d η
c s = c / 3 ( 1 + R ) c_s = c/\sqrt{3(1+R)} c s = c / 3 ( 1 + R ) R = 3 ρ b / ( 4 ρ γ ) R = 3\rho_b/(4\rho_\gamma) R = 3 ρ b / ( 4 ρ γ )
유도 음향 피크 위치의 결정
n n n n n n cos ( k r s ) = ± 1 \cos(kr_s) = \pm 1 cos ( k r s ) = ± 1
k n r s = n π k_n r_s = n\pi k n r s = nπ 이를 각도 멀티폴로 변환하면:
ℓ n ≈ k n d A = n π d A r s \ell_n \approx k_n d_A = \frac{n\pi d_A}{r_s} ℓ n ≈ k n d A = r s nπ d A 여기서 d A d_A d A
ℓ 1 ≈ π d A r s ≈ 220 \ell_1 \approx \frac{\pi d_A}{r_s} \approx 220 ℓ 1 ≈ r s π d A ≈ 220 이 값은 우주의 전체 곡률에 매우 민감하다. Ω tot > 1 \Omega_{\text{tot}} > 1 Ω tot > 1 d A d_A d A ℓ 1 \ell_1 ℓ 1 Ω tot < 1 \Omega_{\text{tot}} < 1 Ω tot < 1
■
실크 감쇠 (Silk Damping)
작은 스케일(ℓ ≳ 1000 \ell \gtrsim 1000 ℓ ≳ 1000
( Δ T T ) ℓ ∝ e − ( ℓ / ℓ D ) 2 \left(\frac{\Delta T}{T}\right)_{\ell} \propto e^{-(\ell/\ell_D)^2} ( T Δ T ) ℓ ∝ e − ( ℓ / ℓ D ) 2 감쇠 스케일은:
k D − 2 = ∫ 0 η ∗ d η 6 ( 1 + R ) n e σ T a ( R 2 + 16 15 ( 1 + R ) ( 1 + R ) 2 ) k_D^{-2} = \int_0^{\eta_*} \frac{d\eta}{6(1+R)\,n_e\sigma_T a} \left(\frac{R^2 + \frac{16}{15}(1+R)}{(1+R)^2}\right) k D − 2 = ∫ 0 η ∗ 6 ( 1 + R ) n e σ T a d η ( ( 1 + R ) 2 R 2 + 15 16 ( 1 + R ) ) 3.2 2차 비등방성 (Secondary Anisotropy)
마지막 산란면과 관측자 사이에서 생성되는 비등방성:
| 효과 | 물리적 기원 | 해당 ℓ \ell ℓ Φ ˙ ≠ 0 \dot{\Phi} \neq 0 Φ ˙ = 0 ℓ ≲ 20 \ell \lesssim 20 ℓ ≲ 20 ℓ ≳ 3000 \ell \gtrsim 3000 ℓ ≳ 3000 ℓ \ell ℓ ℓ ≲ 10 \ell \lesssim 10 ℓ ≲ 10
4. 편광 (Polarization)
톰슨 산란의 비등방성에 의해 CMB는 ∼ 5 % \sim 5\% ∼ 5%
E-모드 : 곡률이 없는(gradient) 패턴. 밀도 요동에서 생성.B-모드 : 발산이 없는(curl) 패턴. 원시 중력파(텐서 섭동)에서 생성.
( Q ± i U ) ( n ^ ) = − ∑ ℓ m ( a ℓ m E ± i a ℓ m B ) ± 2 Y ℓ m ( n ^ ) (Q \pm iU)(\hat{n}) = -\sum_{\ell m} (a_{\ell m}^E \pm i\,a_{\ell m}^B)\,{}_{\pm 2}Y_{\ell m}(\hat{n}) ( Q ± i U ) ( n ^ ) = − ℓ m ∑ ( a ℓ m E ± i a ℓ m B ) ± 2 Y ℓ m ( n ^ ) 참고 B-모드와 인플레이션
원시 중력파에 의한 B-모드의 진폭은 텐서-스칼라 비 r r r
C ℓ B B ∝ r ⋅ A s C_\ell^{BB} \propto r \cdot A_s C ℓ BB ∝ r ⋅ A s 현재 상한은 BICEP/Keck에서 r < 0.036 r < 0.036 r < 0.036
V inf 1 / 4 ≈ 1.06 × 10 16 GeV ( r 0.01 ) 1 / 4 V_{\text{inf}}^{1/4} \approx 1.06 \times 10^{16}\;\text{GeV}\left(\frac{r}{0.01}\right)^{1/4} V inf 1/4 ≈ 1.06 × 1 0 16 GeV ( 0.01 r ) 1/4 이는 GUT 스케일 물리의 직접적 증거가 될 것이다.
5. 우주론적 매개변수의 추출