⚛

물리학 강의 노트

개념완성

파워 스펙트럼 (Power Spectrum)

1. 정의

정의3.3CMB 각 파워 스펙트럼

CMB 온도 비등방성의 각 파워 스펙트럼(angular power spectrum) CℓC_\ell은 구면 조화 계수 aℓma_{\ell m}의 분산으로 정의된다:

Cℓ≡⟨∣aℓm∣2⟩=12ℓ+1∑m=−ℓℓ∣aℓm∣2C_\ell \equiv \langle |a_{\ell m}|^2 \rangle = \frac{1}{2\ell + 1}\sum_{m=-\ell}^{\ell} |a_{\ell m}|^2

관례적으로 Dℓ≡ℓ(ℓ+1)Cℓ/(2π)\mathcal{D}_\ell \equiv \ell(\ell+1)C_\ell/(2\pi)로 표시하며, 이는 ln⁡ℓ\ln\ell 당 분산의 기여를 나타낸다. 단위는 μK2\mu\text{K}^2이다.

2. 이론적 계산: 볼츠만 방정식

2.1 광자 분포 함수의 섭동

광자의 위상 공간 분포 함수 f(x,p^,p,η)f(\mathbf{x}, \hat{p}, p, \eta)의 섭동을 온도 요동으로 표현한다:

Θ(x,p^,η)≡δTT(x,p^,η)\Theta(\mathbf{x}, \hat{p}, \eta) \equiv \frac{\delta T}{T}(\mathbf{x}, \hat{p}, \eta)

이 온도 요동은 볼츠만 방정식을 만족한다:

Θ˙+ikμΘ=−Φ˙−ikμΨ−τ˙[−Θ+Θ0+μvb−12P2(μ)Π]\dot{\Theta} + ik\mu\Theta = -\dot{\Phi} - ik\mu\Psi - \dot{\tau}\left[-\Theta + \Theta_0 + \mu v_b - \frac{1}{2}P_2(\mu)\Pi\right]

여기서:

  • Φ,Ψ\Phi, \Psi: 바르딘(Bardeen) 중력 퍼텐셜
  • μ=k^⋅p^\mu = \hat{k}\cdot\hat{p}: 파수 벡터와 광자 진행 방향의 코사인
  • vbv_b: 바리온 속도
  • Π\Pi: 편광 소스 항
  • τ˙=−neσTa\dot{\tau} = -n_e\sigma_T a: 광학 깊이의 시간 미분

2.2 다중극 전개

온도 요동을 르장드르 다항식으로 전개한다:

Θ(k,μ,η)=∑ℓ=0∞(−i)ℓ(2ℓ+1)Θℓ(k,η)Pℓ(μ)\Theta(\mathbf{k}, \mu, \eta) = \sum_{\ell=0}^{\infty} (-i)^\ell (2\ell+1)\Theta_\ell(\mathbf{k}, \eta)P_\ell(\mu)

이때 볼츠만 계층(hierarchy)은:

Θ˙ℓ+k2ℓ+1[(ℓ+1)Θℓ+1−ℓΘℓ−1]=Sℓ\dot{\Theta}_\ell + \frac{k}{2\ell+1}\left[(\ell+1)\Theta_{\ell+1} - \ell\Theta_{\ell-1}\right] = S_\ell

여기서 소스 항 SℓS_\ell은 ℓ=0,1,2\ell = 0, 1, 2에서만 비영이다.

3. 전달 함수와 소스 함수

3.1 선적분 해 (Line-of-Sight Integration)

Seljak & Zaldarriaga (1996)의 방법에 따르면, CℓC_\ell은 다음과 같이 계산된다:

Cℓ=2π∫0∞k2dk ∣Θℓ(k,η0)∣2C_\ell = \frac{2}{\pi}\int_0^\infty k^2 dk\,|\Theta_\ell(k, \eta_0)|^2

선적분(line-of-sight) 방법을 사용하면:

Θℓ(k,η0)=∫0η0dη S~(k,η) jℓ[k(η0−η)]\Theta_\ell(k, \eta_0) = \int_0^{\eta_0} d\eta\,\tilde{S}(k, \eta)\,j_\ell[k(\eta_0 - \eta)]

여기서 jℓj_\ell은 구면 베셀 함수이고, 유효 소스 함수 S~(k,η)\tilde{S}(k, \eta)는:

S~=g[Θ0+Ψ+v˙bk]+e−τ(Ψ˙−Φ˙)+g˙vbk+34k2g¨Π\tilde{S} = g\left[\Theta_0 + \Psi + \frac{\dot{v}_b}{k}\right] + e^{-\tau}(\dot{\Psi} - \dot{\Phi}) + \dot{g}\frac{v_b}{k} + \frac{3}{4k^2}\ddot{g}\Pi
유도$C_\ell$과 원시 파워 스펙트럼의 관계

초기 곡률 섭동의 파워 스펙트럼을 PR(k)\mathcal{P}_\mathcal{R}(k)라 하면:

⟨R(k)R∗(k′)⟩=(2π)3δ3(k−k′)2π2k3PR(k)\langle \mathcal{R}(\mathbf{k})\mathcal{R}^*(\mathbf{k}')\rangle = (2\pi)^3\delta^3(\mathbf{k} - \mathbf{k}')\frac{2\pi^2}{k^3}\mathcal{P}_\mathcal{R}(k)

전달 함수 Δℓ(k)\Delta_\ell(k)를 Θℓ(k,η0)=Δℓ(k) R(k)\Theta_\ell(k, \eta_0) = \Delta_\ell(k)\,\mathcal{R}(\mathbf{k})로 정의하면:

Cℓ=4π∫0∞dkk PR(k) ∣Δℓ(k)∣2C_\ell = 4\pi\int_0^\infty \frac{dk}{k}\,\mathcal{P}_\mathcal{R}(k)\,|\Delta_\ell(k)|^2

인플레이션에서 예측하는 거듭제곱 스펙트럼 PR(k)=As(k/k∗)ns−1\mathcal{P}_\mathcal{R}(k) = A_s(k/k_*)^{n_s - 1}을 대입하면, CℓC_\ell이 AsA_s와 nsn_s에 의존함을 알 수 있다.

■

4. 파워 스펙트럼의 구조

4.1 삭스-볼프 고원 (ℓ≲30\ell \lesssim 30)

초지평선 스케일에서 삭스-볼프 효과가 지배하며:

ℓ(ℓ+1)Cℓ≈As25=const\ell(\ell+1)C_\ell \approx \frac{A_s}{25} = \text{const}

이 "고원(plateau)"은 스펙트럼 지수 nsn_s의 직접적 측정을 제공한다. ns<1n_s < 1이면 (적색 기울기) 고원이 대규모에서 약간 상승한다.

4.2 음향 피크 (30≲ℓ≲200030 \lesssim \ell \lesssim 2000)

바리온-광자 유체의 음향 진동에 의한 일련의 피크와 골이 나타난다.

| 피크 번호 | 멀티폴 ℓ\ell | 각도 스케일 | 물리적 과정 | |:---:|:---:|:---:|:---:| | 1 | ≈220\approx 220 | ≈1°\approx 1° | 첫 번째 압축 극대 | | 2 | ≈540\approx 540 | ≈0.4°\approx 0.4° | 첫 번째 팽창 극대 (바리온에 의해 억제) | | 3 | ≈810\approx 810 | ≈0.25°\approx 0.25° | 두 번째 압축 극대 |

예제바리온 밀도의 피크 비에 대한 영향

바리온 로딩 R=3ρb/(4ργ)R = 3\rho_b/(4\rho_\gamma)가 증가하면:

  1. 압축 상태(홀수 피크)에서 중력 우물 내 바리온의 관성이 더 깊은 압축을 야기
  2. 팽창 상태(짝수 피크)에서는 관성이 팽창을 억제

결과적으로 홀수 피크 대 짝수 피크의 비가 증가한다:

Cℓ1Cℓ2∝(1+6R)\frac{C_{\ell_1}}{C_{\ell_2}} \propto (1 + 6R)

Planck 데이터에서 Ωbh2\Omega_b h^2는 이 피크 비로부터 1%1\% 미만의 정밀도로 결정된다.

4.3 감쇠 꼬리 (ℓ≳2000\ell \gtrsim 2000)

실크 감쇠에 의해 파워가 지수적으로 감소한다:

Cℓ∝e−2(ℓ/ℓD)2,ℓD≈1400C_\ell \propto e^{-2(\ell/\ell_D)^2}, \qquad \ell_D \approx 1400

감쇠 스케일 ℓD\ell_D는 nsn_s, Ωbh2\Omega_b h^2, Ωmh2\Omega_m h^2에 민감하다.

5. 편광 파워 스펙트럼

온도-온도 (TTTT) 외에, 편광 관련 파워 스펙트럼도 정의된다:

CℓTT,CℓTE,CℓEE,CℓBBC_\ell^{TT}, \quad C_\ell^{TE}, \quad C_\ell^{EE}, \quad C_\ell^{BB}
  • CℓTEC_\ell^{TE}: 음향 피크와 동위상이나 π/2\pi/2만큼 이동된 구조를 보임
  • CℓEEC_\ell^{EE}: TTTT와 유사한 피크 구조, 진폭은 ∼100\sim 100배 작음
  • CℓBBC_\ell^{BB}: 원시 중력파와 렌징에 의해 생성. 텐서-스칼라 비 rr에 비례하는 재이온화 bump (ℓ≲10\ell \lesssim 10)와 렌징 peak (ℓ∼1000\ell \sim 1000)

6. 렌징된 파워 스펙트럼

CMB 광자가 대규모 구조의 중력 퍼텐셜을 통과하면서 경로가 굴절(gravitational lensing)된다. 이로 인해:

C~ℓTT=CℓTT−ℓ2Rℓ CℓTT+(convolution term)\tilde{C}_\ell^{TT} = C_\ell^{TT} - \ell^2 R_\ell\,C_\ell^{TT} + \text{(convolution term)}

주요 효과:

  • 음향 피크의 평활화(smoothing)
  • BB-모드의 생성: EE-모드의 일부가 BB-모드로 전환
CℓBB,lens≈14∫d2l′(2π)2 ∣l′⋅n^∣2 C∣l−l′∣ϕϕ Cl′EEsin⁡22φll′C_\ell^{BB,\text{lens}} \approx \frac{1}{4}\int \frac{d^2\mathbf{l}'}{(2\pi)^2}\,|\mathbf{l}' \cdot \hat{\mathbf{n}}|^2\,C_{|\mathbf{l}-\mathbf{l}'|}^{\phi\phi}\,C_{l'}^{EE}\sin^2 2\varphi_{\mathbf{l}\mathbf{l}'}

여기서 CℓϕϕC_\ell^{\phi\phi}는 렌징 퍼텐셜의 파워 스펙트럼이다.

참고렌징 B-모드와 원시 B-모드의 구분

렌징에 의한 BB-모드는 ℓ∼1000\ell \sim 1000에서 피크를 가지며, 원시 중력파에 의한 BB-모드는 ℓ≲100\ell \lesssim 100에서 피크를 갖는다. 따라서 원리적으로 두 기여는 멀티폴 공간에서 구분 가능하다. 그러나 실제로는 렌징 BB-모드의 정밀한 제거(delensing)가 r≲10−3r \lesssim 10^{-3} 수준의 탐지에 필수적이다.