진스 불안정성 (Jeans Instability)
1. 정의
정의 6.1 진스 불안정성
**진스 불안정성(Jeans instability)**은 자기중력적 유체(self-gravitating fluid)에서 압력에 의한 복원력이 중력 붕괴를 지탱하지 못할 만큼 큰 스케일에서 밀도 요동이 지수적으로 성장하는 현상이다. 이 불안정성이 작동하는 임계 스케일을 진스 길이(Jeans length) λ J \lambda_J λ J 진스 질량(Jeans mass) M J M_J M J
2. 정적 배경에서의 진스 분석
2.1 유체 방정식
균일한 배경 밀도 ρ 0 \rho_0 ρ 0 p 0 p_0 p 0 v 0 = 0 \mathbf{v}_0 = 0 v 0 = 0 ρ = ρ 0 + δ ρ \rho = \rho_0 + \delta\rho ρ = ρ 0 + δ ρ v = δ v \mathbf{v} = \delta\mathbf{v} v = δ v Φ = Φ 0 + δ Φ \Phi = \Phi_0 + \delta\Phi Φ = Φ 0 + δ Φ
연속 방정식 :
∂ ( δ ρ ) ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ δ v = 0 \frac{\partial(\delta\rho)}{\partial t} + \rho_0\nabla\cdot\delta\mathbf{v} = 0 ∂ t ∂ ( δ ρ ) + ρ 0 ∇ ⋅ δ v = 0 오일러 방정식 :
ρ 0 ∂ ( δ v ) ∂ t = − c s 2 ∇ ( δ ρ ) − ρ 0 ∇ ( δ Φ ) \rho_0\frac{\partial(\delta\mathbf{v})}{\partial t} = -c_s^2\nabla(\delta\rho) - \rho_0\nabla(\delta\Phi) ρ 0 ∂ t ∂ ( δ v ) = − c s 2 ∇ ( δ ρ ) − ρ 0 ∇ ( δ Φ ) 포아송 방정식 :
∇ 2 ( δ Φ ) = 4 π G δ ρ \nabla^2(\delta\Phi) = 4\pi G\,\delta\rho ∇ 2 ( δ Φ ) = 4 π G δ ρ 여기서 c s 2 = d p / d ρ c_s^2 = dp/d\rho c s 2 = d p / d ρ
유도 진스 분산관계의 유도
평면파 해 δ ρ ∝ e i ( k ⋅ x − ω t ) \delta\rho \propto e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)} δ ρ ∝ e i ( k ⋅ x − ω t )
연속 방정식: − i ω δ ρ + ρ 0 i k ⋅ δ v = 0 -i\omega\,\delta\rho + \rho_0\,i\mathbf{k}\cdot\delta\mathbf{v} = 0 − iω δ ρ + ρ 0 i k ⋅ δ v = 0
오일러 방정식: − i ω ρ 0 δ v = − i c s 2 k δ ρ − i ρ 0 k δ Φ -i\omega\rho_0\,\delta\mathbf{v} = -ic_s^2\mathbf{k}\,\delta\rho - i\rho_0\mathbf{k}\,\delta\Phi − iω ρ 0 δ v = − i c s 2 k δ ρ − i ρ 0 k δ Φ
포아송 방정식: − k 2 δ Φ = 4 π G δ ρ -k^2\delta\Phi = 4\pi G\,\delta\rho − k 2 δ Φ = 4 π G δ ρ
오일러 방정식에서 δ v \delta\mathbf{v} δ v
− i ω δ ρ + ρ 0 k 2 ω ρ 0 ( c s 2 δ ρ + ρ 0 δ Φ ) = 0 -i\omega\,\delta\rho + \frac{\rho_0 k^2}{\omega\rho_0}\left(c_s^2\,\delta\rho + \rho_0\,\delta\Phi\right) = 0 − iω δ ρ + ω ρ 0 ρ 0 k 2 ( c s 2 δ ρ + ρ 0 δ Φ ) = 0 δ Φ = − 4 π G δ ρ / k 2 \delta\Phi = -4\pi G\,\delta\rho/k^2 δ Φ = − 4 π G δ ρ / k 2
ω 2 δ ρ = k 2 c s 2 δ ρ − 4 π G ρ 0 δ ρ \omega^2\,\delta\rho = k^2 c_s^2\,\delta\rho - 4\pi G\rho_0\,\delta\rho ω 2 δ ρ = k 2 c s 2 δ ρ − 4 π G ρ 0 δ ρ 비자명해 조건(δ ρ ≠ 0 \delta\rho \neq 0 δ ρ = 0 진스 분산관계(Jeans dispersion relation) :
ω 2 = c s 2 k 2 − 4 π G ρ 0 \boxed{\omega^2 = c_s^2 k^2 - 4\pi G\rho_0} ω 2 = c s 2 k 2 − 4 π G ρ 0 ■
2.2 진스 파수와 진스 길이
분산관계에서 ω 2 = 0 \omega^2 = 0 ω 2 = 0
k J = 4 π G ρ 0 c s k_J = \frac{\sqrt{4\pi G\rho_0}}{c_s} k J = c s 4 π G ρ 0 이에 대응하는 진스 길이 :
λ J = 2 π k J = c s π G ρ 0 \lambda_J = \frac{2\pi}{k_J} = c_s\sqrt{\frac{\pi}{G\rho_0}} λ J = k J 2 π = c s G ρ 0 π
λ < λ J \lambda < \lambda_J λ < λ J k > k J k > k_J k > k J ω 2 > 0 \omega^2 > 0 ω 2 > 0 λ > λ J \lambda > \lambda_J λ > λ J k < k J k < k_J k < k J ω 2 < 0 \omega^2 < 0 ω 2 < 0 ω = ± i ∣ ω ∣ \omega = \pm i|\omega| ω = ± i ∣ ω ∣
성장 시간 스케일:
t grow = 1 ∣ ω ∣ = 1 4 π G ρ 0 − c s 2 k 2 t_{\text{grow}} = \frac{1}{|\omega|} = \frac{1}{\sqrt{4\pi G\rho_0 - c_s^2 k^2}} t grow = ∣ ω ∣ 1 = 4 π G ρ 0 − c s 2 k 2 1 가장 빠른 성장(k → 0 k \to 0 k → 0 t grow → 1 / 4 π G ρ 0 = t ff / 2 t_{\text{grow}} \to 1/\sqrt{4\pi G\rho_0} = t_{\text{ff}}/\sqrt{2} t grow → 1/ 4 π G ρ 0 = t ff / 2 t ff t_{\text{ff}} t ff
2.3 진스 질량
진스 길이에 대응하는 질량:
M J = 4 3 π ρ 0 ( λ J 2 ) 3 = π 5 / 2 6 c s 3 G 3 / 2 ρ 0 1 / 2 M_J = \frac{4}{3}\pi\rho_0\left(\frac{\lambda_J}{2}\right)^3 = \frac{\pi^{5/2}}{6}\frac{c_s^3}{G^{3/2}\rho_0^{1/2}} M J = 3 4 π ρ 0 ( 2 λ J ) 3 = 6 π 5/2 G 3/2 ρ 0 1/2 c s 3 3. 팽창하는 우주에서의 진스 분석
팽창하는 배경을 고려하면 분석이 본질적으로 달라진다. 밀도 대비(density contrast) δ ≡ δ ρ / ρ 0 \delta \equiv \delta\rho/\rho_0 δ ≡ δ ρ / ρ 0
δ ¨ + 2 H δ ˙ + ( c s 2 k 2 a 2 − 4 π G ρ 0 ) δ = 0 \ddot{\delta} + 2H\dot{\delta} + \left(\frac{c_s^2 k^2}{a^2} - 4\pi G\rho_0\right)\delta = 0 δ ¨ + 2 H δ ˙ + ( a 2 c s 2 k 2 − 4 π G ρ 0 ) δ = 0 정적 경우와의 핵심 차이는 허블 마찰항 2 H δ ˙ 2H\dot{\delta} 2 H δ ˙
3.1 물질 우세, 진스 길이 이상 (k ≪ k J k \ll k_J k ≪ k J
c s 2 k 2 / a 2 ≪ 4 π G ρ 0 c_s^2 k^2/a^2 \ll 4\pi G\rho_0 c s 2 k 2 / a 2 ≪ 4 π G ρ 0 ρ 0 = 3 H 2 / ( 8 π G ) \rho_0 = 3H^2/(8\pi G) ρ 0 = 3 H 2 / ( 8 π G ) H = 2 / ( 3 t ) H = 2/(3t) H = 2/ ( 3 t )
δ ¨ + 4 3 t δ ˙ − 2 3 t 2 δ = 0 \ddot{\delta} + \frac{4}{3t}\dot{\delta} - \frac{2}{3t^2}\delta = 0 δ ¨ + 3 t 4 δ ˙ − 3 t 2 2 δ = 0 멱법칙 해 δ ∝ t n \delta \propto t^n δ ∝ t n
n ( n − 1 ) + 4 3 n − 2 3 = 0 ⟹ n = 2 3 또는 n = − 1 n(n-1) + \frac{4}{3}n - \frac{2}{3} = 0 \quad \Longrightarrow \quad n = \frac{2}{3} \;\text{또는}\; n = -1 n ( n − 1 ) + 3 4 n − 3 2 = 0 ⟹ n = 3 2 또는 n = − 1 따라서:
δ ( t ) = A t 2 / 3 + B t − 1 = A ′ a + B ′ a − 3 / 2 \delta(t) = A\,t^{2/3} + B\,t^{-1} = A'\,a + B'\,a^{-3/2} δ ( t ) = A t 2/3 + B t − 1 = A ′ a + B ′ a − 3/2 성장 모드 : δ + ∝ a ∝ ( 1 + z ) − 1 \delta_+ \propto a \propto (1+z)^{-1} δ + ∝ a ∝ ( 1 + z ) − 1 척도인자에 비례하는 선형 성장 만 발생한다.
3.2 복사 우세기
복사 우세기에서 진스 길이 이상의 모드는 **메시코프 효과(Meszaros effect)**로 인해 성장이 사실상 정체(stagnation)된다:
δ m ∝ ln ( a ) ( 복사 우세, k ≪ k J ) \delta_m \propto \ln(a) \quad (\text{복사 우세, } k \ll k_J) δ m ∝ ln ( a ) ( 복사 우세 , k ≪ k J ) 이는 복사의 압력이 중력 퍼텐셜을 빠르게 소산시키기 때문이다.
참고 메시코프 효과와 전환 스케일
물질-복사 등가 시기(z eq ≈ 3400 z_{\text{eq}} \approx 3400 z eq ≈ 3400 k eq k_{\text{eq}} k eq
k eq = a eq H eq ≈ 0.01 Mpc − 1 k_{\text{eq}} = a_{\text{eq}}H_{\text{eq}} \approx 0.01\;\text{Mpc}^{-1} k eq = a eq H eq ≈ 0.01 Mpc − 1
k ≪ k eq k \ll k_{\text{eq}} k ≪ k eq T ( k ) ≈ 1 T(k) \approx 1 T ( k ) ≈ 1 k ≫ k eq k \gg k_{\text{eq}} k ≫ k eq T ( k ) ∝ k − 2 ln ( k / k eq ) T(k) \propto k^{-2}\ln(k/k_{\text{eq}}) T ( k ) ∝ k − 2 ln ( k / k eq ) 이 꺾임은 물질 파워 스펙트럼 P ( k ) P(k) P ( k ) Ω m h 2 \Omega_m h^2 Ω m h 2
4. 암흑물질의 역할
암흑물질은 바리온과 달리 광자와 결합하지 않으므로, 재결합 이전에도 자유롭게 중력 붕괴를 시작할 수 있다:
δ DM ∝ a ( 물질 우세기, 모든 스케일 ) \delta_{\text{DM}} \propto a \quad (\text{물질 우세기, 모든 스케일}) δ DM ∝ a ( 물질 우세기 , 모든 스케일 ) 재결합 이후 바리온은 암흑물질이 이미 형성해 놓은 중력 퍼텐셜 우물 에 빠르게 빠져들어간다:
δ b → z < z ∗ δ DM \delta_b \xrightarrow{z < z_*} \delta_{\text{DM}} δ b z < z ∗ δ DM 이 "추격(catch-up)" 과정 없이는, 바리온만으로 현재의 구조(δ ∼ 10 6 \delta \sim 10^6 δ ∼ 1 0 6 z ∗ ≈ 1100 z_* \approx 1100 z ∗ ≈ 1100 z = 0 z = 0 z = 0 ∼ 1100 \sim 1100 ∼ 1100
5. 자유 스트리밍과 절단 스케일
정의 6.2 자유 스트리밍 길이
비충돌적(collisionless) 입자(예: 암흑물질)는 열적 속도에 의해 작은 스케일의 요동을 지울 수 있다. **자유 스트리밍 길이(free-streaming length)**는:
λ fs = ∫ 0 t v ( t ′ ) a ( t ′ ) d t ′ \lambda_{\text{fs}} = \int_0^t \frac{v(t')}{a(t')}dt' λ fs = ∫ 0 t a ( t ′ ) v ( t ′ ) d t ′ 이보다 작은 스케일에서는 밀도 요동이 소거된다. CDM의 경우 λ fs ≲ 1 pc \lambda_{\text{fs}} \lesssim 1\;\text{pc} λ fs ≲ 1 pc ∼ 10 − 6 M ⊙ \sim 10^{-6}\,M_\odot ∼ 1 0 − 6 M ⊙ λ fs ∼ 40 Mpc \lambda_{\text{fs}} \sim 40\;\text{Mpc} λ fs ∼ 40 Mpc