선형 섭동론 (Linear Perturbation Theory)
1. 개요
정의 6.3 우주론적 섭동론
**우주론적 섭동론(cosmological perturbation theory)**은 균일등방한 FLRW 배경 위에 작은 비균일성(inhomogeneity)을 선형적으로 전개하여, 초기 밀도 요동이 대규모 구조로 성장하는 과정을 기술하는 이론적 틀이다. 섭동이 작을 때(∣ δ ∣ ≪ 1 |\delta| \ll 1 ∣ δ ∣ ≪ 1
2. 계량 섭동의 분류
FLRW 배경 위의 섭동된 계량은 스칼라, 벡터, 텐서 섭동으로 분해된다 (SVT 분해). 스칼라 섭동 은 밀도 요동과 결합하여 구조 형성을 주도한다.
뉴턴 게이지(conformal Newtonian gauge)에서 스칼라 섭동된 계량:
d s 2 = a 2 ( η ) [ − ( 1 + 2 Ψ ) c 2 d η 2 + ( 1 − 2 Φ ) δ i j d x i d x j ] ds^2 = a^2(\eta)\left[-(1+2\Psi)c^2 d\eta^2 + (1-2\Phi)\delta_{ij}dx^i dx^j\right] d s 2 = a 2 ( η ) [ − ( 1 + 2Ψ ) c 2 d η 2 + ( 1 − 2Φ ) δ ij d x i d x j ] 여기서:
Ψ \Psi Ψ Φ \Phi Φ 비등방 응력이 없으면 Ψ = Φ \Psi = \Phi Ψ = Φ
참고 게이지 선택의 중요성
일반상대론적 섭동론에서 좌표 변환(게이지 변환)에 의한 비물리적 자유도가 존재한다. 물리적 결과는 게이지 불변이어야 하므로, 두 가지 접근이 사용된다:
게이지 고정 : 특정 게이지(뉴턴 게이지, 동기 게이지 등)를 선택게이지 불변 변수 : 바르딘 변수(Bardeen variables) Φ A \Phi_A Φ A Φ H \Phi_H Φ H 뉴턴 게이지에서의 Φ \Phi Φ Ψ \Psi Ψ
3. 아인슈타인 방정식의 섭동
3.1 에너지-운동량 텐서의 섭동
완전 유체의 섭동:
T 0 0 = − ( ρ ˉ + δ ρ ) , T 0 i = ( ρ ˉ + p ˉ / c 2 ) v i T^0{}_0 = -(\bar{\rho} + \delta\rho), \qquad T^0{}_i = (\bar{\rho} + \bar{p}/c^2)v_i T 0 0 = − ( ρ ˉ + δ ρ ) , T 0 i = ( ρ ˉ + p ˉ / c 2 ) v i T i j = ( p ˉ + δ p ) δ i j + Π i j T^i{}_j = (\bar{p} + \delta p)\delta^i{}_j + \Pi^i{}_j T i j = ( p ˉ + δ p ) δ i j + Π i j 여기서 ρ ˉ \bar{\rho} ρ ˉ p ˉ \bar{p} p ˉ v i v_i v i Π i j \Pi^i{}_j Π i j
3.2 선형화된 아인슈타인 방정식
푸리에 공간에서(δ → δ k \delta \to \delta_k δ → δ k ∇ → i k \nabla \to ik ∇ → ik
포아송 방정식 (( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
k 2 Φ + 3 H ( Φ ′ + H Ψ ) = − 4 π G a 2 δ ρ k^2\Phi + 3\mathcal{H}\left(\Phi' + \mathcal{H}\Psi\right) = -4\pi Ga^2\,\delta\rho k 2 Φ + 3 H ( Φ ′ + H Ψ ) = − 4 π G a 2 δ ρ 여기서 H = a H = a ′ / a \mathcal{H} = aH = a'/a H = a H = a ′ / a η \eta η k ≫ H k \gg \mathcal{H} k ≫ H
k 2 Φ = − 4 π G a 2 δ ρ ⟹ ∇ 2 Φ = 4 π G a 2 ρ ˉ δ k^2\Phi = -4\pi Ga^2\,\delta\rho \quad \Longrightarrow \quad \nabla^2\Phi = 4\pi Ga^2\bar{\rho}\,\delta k 2 Φ = − 4 π G a 2 δ ρ ⟹ ∇ 2 Φ = 4 π G a 2 ρ ˉ δ 운동량 보존 (( 0 , i ) (0,i) ( 0 , i )
Φ ′ + H Ψ = − 4 π G a 2 ( ρ ˉ + p ˉ / c 2 ) v k \Phi' + \mathcal{H}\Psi = -4\pi Ga^2(\bar{\rho} + \bar{p}/c^2)\frac{v}{k} Φ ′ + H Ψ = − 4 π G a 2 ( ρ ˉ + p ˉ / c 2 ) k v 비등방 응력 (비대각 ( i , j ) (i,j) ( i , j )
k 2 ( Φ − Ψ ) = 12 π G a 2 ( ρ ˉ + p ˉ / c 2 ) σ k^2(\Phi - \Psi) = 12\pi Ga^2(\bar{\rho} + \bar{p}/c^2)\sigma k 2 ( Φ − Ψ ) = 12 π G a 2 ( ρ ˉ + p ˉ / c 2 ) σ 완전 유체(비등방 응력 σ = 0 \sigma = 0 σ = 0 Φ = Ψ \Phi = \Psi Φ = Ψ
4. 성장 방정식과 성장 함수
4.1 단일 유체 근사
물질 우세기에 아래지평선 스케일에서, 밀도 대비의 진화 방정식은:
δ ′ ′ + H δ ′ − 4 π G a 2 ρ ˉ δ = 0 \delta'' + \mathcal{H}\delta' - 4\pi G a^2\bar{\rho}\,\delta = 0 δ ′′ + H δ ′ − 4 π G a 2 ρ ˉ δ = 0 또는 우주 시간 t t t
δ ¨ + 2 H δ ˙ − 3 2 H 2 Ω m ( a ) δ = 0 \ddot{\delta} + 2H\dot{\delta} - \frac{3}{2}H^2\Omega_m(a)\,\delta = 0 δ ¨ + 2 H δ ˙ − 2 3 H 2 Ω m ( a ) δ = 0 유도 선형 성장 방정식의 유도
뉴턴 게이지에서의 연속 방정식과 오일러 방정식의 선형화:
δ ′ + k v a = − 3 Φ ′ \delta' + \frac{k v}{a} = -3\Phi' δ ′ + a k v = − 3 Φ ′ v ′ + H v = − k a ( Ψ + c s 2 δ 1 + w ) v' + \mathcal{H}v = -\frac{k}{a}\left(\Psi + \frac{c_s^2\delta}{1+w}\right) v ′ + H v = − a k ( Ψ + 1 + w c s 2 δ ) 아래지평선 근사(k ≫ H k \gg \mathcal{H} k ≫ H Φ ′ ≈ 0 \Phi' \approx 0 Φ ′ ≈ 0
δ ′ ′ + H δ ′ + ( c s 2 k 2 − 4 π G a 2 ρ ˉ ) δ = 0 \delta'' + \mathcal{H}\delta' + \left(c_s^2 k^2 - 4\pi Ga^2\bar{\rho}\right)\delta = 0 δ ′′ + H δ ′ + ( c s 2 k 2 − 4 π G a 2 ρ ˉ ) δ = 0 CDM의 경우 c s = 0 c_s = 0 c s = 0
δ c ′ ′ + H δ c ′ − 3 2 H 2 Ω m δ c = 0 \delta_c'' + \mathcal{H}\delta_c' - \frac{3}{2}\mathcal{H}^2\Omega_m\,\delta_c = 0 δ c ′′ + H δ c ′ − 2 3 H 2 Ω m δ c = 0 여기서 4 π G a 2 ρ ˉ m = 3 2 H 2 Ω m 4\pi Ga^2\bar{\rho}_m = \frac{3}{2}\mathcal{H}^2\Omega_m 4 π G a 2 ρ ˉ m = 2 3 H 2 Ω m
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4.2 성장 함수 D ( a ) D(a) D ( a )
위 방정식의 성장 해를 선형 성장 함수(linear growth function) D + ( a ) D_+(a) D + ( a ) δ ( a ) = D + ( a ) δ 0 \delta(a) = D_+(a)\,\delta_0 δ ( a ) = D + ( a ) δ 0
Λ \Lambda Λ
D + ( a ) = 5 Ω m , 0 2 H ( a ) ∫ 0 a d a ′ [ a ′ H ( a ′ ) ] 3 D_+(a) = \frac{5\Omega_{m,0}}{2}\,H(a)\int_0^a \frac{da'}{[a'H(a')]^3} D + ( a ) = 2 5 Ω m , 0 H ( a ) ∫ 0 a [ a ′ H ( a ′ ) ] 3 d a ′ 성장률(growth rate) f f f
f ( a ) ≡ d ln D + d ln a ≈ Ω m ( a ) γ f(a) \equiv \frac{d\ln D_+}{d\ln a} \approx \Omega_m(a)^\gamma f ( a ) ≡ d ln a d ln D + ≈ Ω m ( a ) γ 여기서 γ ≈ 0.55 \gamma \approx 0.55 γ ≈ 0.55 Λ \Lambda Λ γ \gamma γ f σ 8 f\sigma_8 f σ 8
5. 물질 파워 스펙트럼
5.1 정의
물질 밀도 대비의 파워 스펙트럼 :
⟨ δ ( k ) δ ∗ ( k ′ ) ⟩ = ( 2 π ) 3 δ D 3 ( k − k ′ ) P ( k ) \langle\delta(\mathbf{k})\delta^*(\mathbf{k}')\rangle = (2\pi)^3\delta_D^3(\mathbf{k}-\mathbf{k}')P(k) ⟨ δ ( k ) δ ∗ ( k ′ )⟩ = ( 2 π ) 3 δ D 3 ( k − k ′ ) P ( k ) 원시 스펙트럼 P R ( k ) \mathcal{P}_\mathcal{R}(k) P R ( k )
P ( k , z ) = 2 π 2 k 3 P R ( k ) ( 2 5 k 2 Ω m , 0 H 0 2 ) 2 T 2 ( k ) D + 2 ( z ) P(k, z) = \frac{2\pi^2}{k^3}\mathcal{P}_\mathcal{R}(k)\left(\frac{2}{5}\frac{k^2}{\Omega_{m,0}H_0^2}\right)^2 T^2(k)\,D_+^2(z) P ( k , z ) = k 3 2 π 2 P R ( k ) ( 5 2 Ω m , 0 H 0 2 k 2 ) 2 T 2 ( k ) D + 2 ( z ) 여기서 T ( k ) T(k) T ( k )
5.2 전달 함수
전달 함수는 각 모드가 지평선 진입 이후 겪는 물리적 과정(복사 압력, 메시코프 효과, 바리온 음향 진동, 실크 감쇠 등)을 인코딩한다:
T ( k ) ≈ { 1 ( k ≪ k eq ) ln ( 2 e k / k eq ) ( k / k eq ) 2 ( k ≫ k eq ) T(k) \approx \begin{cases} 1 & (k \ll k_{\text{eq}}) \\ \displaystyle \frac{\ln(2ek/k_{\text{eq}})}{(k/k_{\text{eq}})^2} & (k \gg k_{\text{eq}}) \end{cases} T ( k ) ≈ ⎩ ⎨ ⎧ 1 ( k / k eq ) 2 ln ( 2 e k / k eq ) ( k ≪ k eq ) ( k ≫ k eq ) 6. 비선형 진화로의 전환
6.1 구면 붕괴 모형 (Spherical Collapse Model)
선형 밀도 대비가 임계값 δ c \delta_c δ c
δ c = 3 20 ( 12 π ) 2 / 3 ≈ 1.686 ( Einstein–de Sitter ) \delta_c = \frac{3}{20}(12\pi)^{2/3} \approx 1.686 \quad (\text{Einstein–de Sitter}) δ c = 20 3 ( 12 π ) 2/3 ≈ 1.686 ( Einstein–de Sitter ) 이때의 실제 비선형 밀도 대비는 Δ ≈ 178 \Delta \approx 178 Δ ≈ 178
6.2 헤일로 질량 함수
단위 부피당 질량 M M M M + d M M+dM M + d M Press-Schechter 공식 으로 주어진다:
d n d M = − ρ ˉ M f ( ν ) d ln σ d M \frac{dn}{dM} = -\frac{\bar{\rho}}{M}\,f(\nu)\,\frac{d\ln\sigma}{dM} d M d n = − M ρ ˉ f ( ν ) d M d ln σ 여기서 ν = δ c / σ ( M ) \nu = \delta_c/\sigma(M) ν = δ c / σ ( M ) f ( ν ) = 2 / π ν e − ν 2 / 2 f(\nu) = \sqrt{2/\pi}\,\nu\,e^{-\nu^2/2} f ( ν ) = 2/ π ν e − ν 2 /2
참고 선형 이론의 적용 범위와 한계
선형 섭동론은 δ ≪ 1 \delta \ll 1 δ ≪ 1 k ≲ 0.1 h Mpc − 1 k \lesssim 0.1\,h\;\text{Mpc}^{-1} k ≲ 0.1 h Mpc − 1
섭동론적 접근 : 표준 섭동론(SPT), 유효 장론(EFTofLSS)으로 약한 비선형성을 체계적으로 보정N-체 시뮬레이션 : 완전 비선형 진화를 수치적으로 추적 (Millennium, IllustrisTNG, Euclid Flagship 등)준해석적 모형 : 헤일로 모형(halo model), 피팅 공식(Halofit) BAO 스케일(k ∼ 0.1 h Mpc − 1 k \sim 0.1\,h\;\text{Mpc}^{-1} k ∼ 0.1 h Mpc − 1 ≲ 1 % \lesssim 1\% ≲ 1%