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물리학 강의 노트

개념완성

전기장 (Electric Field)

전기장의 정의

정의1.1전기장

점전하 QQ가 공간의 한 점 r\mathbf{r}에 만드는 전기장(Electric Field) E\mathbf{E}는 그 점에 놓인 시험 전하 qq가 받는 힘 F\mathbf{F}로 정의됩니다:

E(r)=lim⁡q→0Fq\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \lim_{q \to 0} \frac{\mathbf{F}}{q}

점전하 QQ가 원점에 있을 때, 거리 rr인 점에서의 전기장은:

E(r)=14πϵ0Qr2r^\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \hat{\mathbf{r}}

여기서 ϵ0≈8.854×10−12 C2/(N⋅m2)\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\ \mathrm{C^2/(N \cdot m^2)}는 진공의 유전율(permittivity of free space)입니다.

중첩의 원리

전기장은 **중첩의 원리(Superposition Principle)**를 따릅니다. 여러 점전하 q1,q2,…,qnq_1, q_2, \ldots, q_n이 각각 r1,r2,…,rn\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_n에 위치할 때, 점 r\mathbf{r}에서의 총 전기장은:

E(r)=14πϵ0∑i=1nqi∣r−ri∣2η^i\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|^2} \hat{\boldsymbol{\eta}}_i

여기서 η^i=r−ri∣r−ri∣\hat{\boldsymbol{\eta}}_i = \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}_i}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|}는 qiq_i에서 r\mathbf{r}로 향하는 단위벡터입니다.

연속 전하 분포

이산적인 점전하를 연속 분포로 확장하면:

정의1.2연속 전하 분포의 전기장

선전하밀도 λ\lambda, 면전하밀도 σ\sigma, 체적전하밀도 ρ\rho에 대해:

E(r)=14πϵ0∫ρ(r′)∣r−r′∣2η^ dV′\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2} \hat{\boldsymbol{\eta}}\ dV'

선전하와 면전하의 경우 각각 ρ dV′→λ dl′\rho\ dV' \to \lambda\ dl', ρ dV′→σ da′\rho\ dV' \to \sigma\ da'로 치환합니다.

전기력선

참고전기력선(Electric Field Lines)

전기력선은 전기장을 시각화하는 도구입니다:

  • 양전하에서 출발하여 음전하에서 끝남
  • 임의의 점에서 접선 방향이 E\mathbf{E}의 방향
  • 선의 밀도가 ∣E∣|\mathbf{E}|의 크기에 비례
  • 전기력선은 절대 교차하지 않음
예제무한 직선 전하의 전기장

단위 길이당 전하 λ\lambda를 가진 무한 직선이 zz축 위에 있을 때, 수직 거리 ss에서의 전기장은 대칭성과 적분을 통해:

E=λ2πϵ0ss^\mathbf{E} = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 s} \hat{\mathbf{s}}

이 결과는 가우스 법칙으로도 훨씬 간단하게 유도할 수 있습니다.