전위 (Electric Potential)

전기장의 회전

정전기 상황에서 전기장의 핵심 성질 중 하나는:

$\nabla \times \mathbf{E} = 0$

이는 정전기장이 **보존장(conservative field)**임을 의미합니다. 따라서 임의의 닫힌 경로에 대해:

$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = 0$

정의1.3전위

전기장이 보존적이므로, 스칼라 함수 $V(\mathbf{r})$ 가 존재하여:

$\mathbf{E} = -\nabla V$

전위(Electric Potential) $V$ 는 기준점 $\mathcal{O}$ 에서 점 $\mathbf{r}$ 까지의 선적분으로 정의됩니다:

$V(\mathbf{r}) = -\int_{\mathcal{O}}^{\mathbf{r}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$

점전하 $Q$ 에 의한 전위는 (무한대를 기준점으로):

$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$

전위도 중첩의 원리를 따르며, 스칼라 함수이므로 벡터인 전기장보다 계산이 훨씬 간단합니다:

$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|}$

연속 분포의 경우:

$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\ dV'$

정의1.4전위차

두 점 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 사이의 **전위차(Potential Difference)**는:

$V(\mathbf{b}) - V(\mathbf{a}) = -\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$

전하 $q$ 를 $\mathbf{a}$ 에서 $\mathbf{b}$ 로 이동시키는 데 필요한 일은:

$W = q\big[V(\mathbf{b}) - V(\mathbf{a})\big]$

$\mathbf{E} = -\nabla V$ 를 가우스 법칙 $\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0$ 에 대입하면:

$\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$

이것이 **푸아송 방정식(Poisson's equation)**입니다. 전하가 없는 영역( $\rho = 0$ )에서는:

$\nabla^2 V = 0$

이것이 **라플라스 방정식(Laplace's equation)**입니다.

참고등전위면

등전위면(Equipotential Surface)은 $V = \text{const}$ 인 면입니다. 전기장은 항상 등전위면에 수직이며, 전위가 감소하는 방향을 가리킵니다. 도체의 표면은 항상 등전위면입니다.