⚛

물리학 강의 노트

유도완성

쿨롱 법칙에서 가우스 법칙 유도

유도의 목표

쿨롱 법칙으로부터 가우스 법칙의 미분 형태를 유도합니다:

∇⋅E=ρϵ0\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}

핵심 항등식

정의D.1디랙 델타 함수의 성질

벡터 해석학의 핵심 항등식:

∇2(1∣r−r′∣)=−4π δ3(r−r′)\nabla^2 \left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right) = -4\pi\,\delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}')

이 항등식이 유도의 열쇠입니다.

유도쿨롱 → 가우스

Step 1. 연속 전하 분포의 전기장 (쿨롱 법칙):

E(r)=14πϵ0∫ρ(r′)r−r′∣r−r′∣3 dV′\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \rho(\mathbf{r}') \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\ dV'

이것은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

E(r)=−14πϵ0∫ρ(r′) ∇ ⁣(1∣r−r′∣)dV′\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \rho(\mathbf{r}')\ \nabla\!\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right) dV'

여기서 ∇\nabla는 r\mathbf{r}에 대한 미분입니다.

Step 2. 양변의 발산을 취합니다:

∇⋅E=−14πϵ0∫ρ(r′) ∇2 ⁣(1∣r−r′∣)dV′\nabla \cdot \mathbf{E} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \rho(\mathbf{r}')\ \nabla^2\!\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right) dV'

Step 3. 핵심 항등식 ∇2(1/∣r−r′∣)=−4π δ3(r−r′)\nabla^2(1/|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|) = -4\pi\,\delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}')를 대입합니다:

∇⋅E=−14πϵ0∫ρ(r′)⋅[−4π δ3(r−r′)] dV′\nabla \cdot \mathbf{E} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \rho(\mathbf{r}') \cdot \big[-4\pi\,\delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\big]\ dV'

=1ϵ0∫ρ(r′) δ3(r−r′) dV′= \frac{1}{\epsilon_0} \int \rho(\mathbf{r}')\ \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\ dV'

Step 4. 델타 함수의 선별 성질(sifting property)을 적용하면:

∇⋅E=ρ(r)ϵ0\boxed{\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}}

이것이 가우스 법칙의 미분 형태입니다.

Step 5. 적분 형태를 얻으려면 양변을 임의의 체적 V\mathcal{V}에 대해 적분하고, 좌변에 발산 정리(divergence theorem)를 적용합니다:

∫V∇⋅E dV=∮SE⋅da=1ϵ0∫Vρ dV=Qencϵ0\int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot \mathbf{E}\ dV = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{1}{\epsilon_0} \int_{\mathcal{V}} \rho\ dV = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}

∮SE⋅da=Qencϵ0\boxed{\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}}

■
참고역으로: 가우스 법칙에서 쿨롱 법칙

가우스 법칙이 더 근본적이며, 쿨롱 법칙은 구 대칭 점전하에 가우스 법칙을 적용한 특수한 경우입니다. 가우스 법칙은 맥스웰 방정식의 일부로서 정전기뿐 아니라 시간에 따라 변하는 전하 분포에도 성립합니다.