가우스 법칙 (Gauss's Law)

전기 선속

정의1.8전기 선속

닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 를 통과하는 전기 선속(Electric Flux) $\Phi_E$ 는:

$\Phi_E = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a}$

여기서 $d\mathbf{a} = \hat{\mathbf{n}}\ da$ 이고, $\hat{\mathbf{n}}$ 은 곡면의 바깥 방향 단위 법선벡터입니다.

법칙1.2가우스 법칙

임의의 닫힌 곡면(가우스 곡면)을 통과하는 전기 선속은 그 곡면 내부의 총 전하에 비례합니다:

$\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}$

여기서 $Q_{\text{enc}} = \int_{\mathcal{V}} \rho\ dV$ 는 곡면 내부에 둘러싸인 총 전하입니다.

미분 형태로는:

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$

이것은 맥스웰 방정식의 첫 번째 식입니다.

가우스 법칙이 유용한 핵심 조건: 대칭성이 높을 때

예제균일하게 대전된 구의 전기장

총 전하 $Q$ 가 반지름 $R$ 인 구에 균일하게 분포할 때:

외부 ( $r > R$ ): 반지름 $r$ 인 구면을 가우스 곡면으로 선택

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{E} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{\mathbf{r}}$

점전하의 전기장과 동일합니다!

내부 ( $r < R$ ): $Q_{\text{enc}} = Q \cdot \frac{r^3}{R^3}$ 이므로

$\mathbf{E} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{r}{R^3}\hat{\mathbf{r}}$

전기장이 중심으로부터 선형으로 증가합니다.

예제무한 평면의 전기장

면전하밀도 $\sigma$ 의 무한 평면: 평면에 수직인 원기둥형 가우스 곡면을 사용

$2EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat{\mathbf{n}}$

전기장이 거리에 무관하게 일정합니다. 이것은 평행판 축전기의 기초가 됩니다.

예제무한 직선 전하의 전기장

선전하밀도 $\lambda$ : 동축 원통형 가우스 곡면을 사용

$E \cdot 2\pi s L = \frac{\lambda L}{\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{E} = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 s}\hat{\mathbf{s}}$

참고가우스 법칙은 항상 참이지만 항상 유용하지는 않다

가우스 법칙은 전하 분포의 대칭성에 관계없이 항상 성립합니다. 하지만 $\mathbf{E}$ 를 직접 구하는 도구로 유용하려면, 대칭성이 충분히 높아서 가우스 곡면 위에서 $\mathbf{E}$ 가 상수이거나 0이어야 합니다.

실용적인 세 가지 대칭: