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물리학 강의 노트

개념완성

라플라스·푸아송 방정식 (Laplace & Poisson Equations)

1. 정전기 퍼텐셜과 편미분 방정식

정전기학에서 전기장 E\mathbf{E}는 스칼라 퍼텐셜 VV의 기울기로 표현된다:

E=−∇V\mathbf{E} = -\nabla V

가우스 법칙 ∇⋅E=ρ/ϵ0\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho / \epsilon_0와 결합하면, 퍼텐셜이 만족하는 편미분 방정식을 얻는다.

정의2.1푸아송 방정식

전하 분포 ρ(r)\rho(\mathbf{r})가 존재하는 영역에서 정전기 퍼텐셜 V(r)V(\mathbf{r})는 다음의 푸아송 방정식(Poisson's equation)을 만족한다:

∇2V=−ρϵ0\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}

여기서 ∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}은 라플라시안 연산자이다.

정의2.2라플라스 방정식

전하가 없는 영역(ρ=0\rho = 0)에서는 푸아송 방정식이 라플라스 방정식(Laplace's equation)으로 환원된다:

∇2V=0\nabla^2 V = 0

이 방정식의 해를 조화 함수(harmonic function)라 부른다.

2. 라플라스 방정식의 주요 성질

정의2.3조화 함수의 평균값 정리

VV가 라플라스 방정식의 해이면, 임의의 구 표면 위에서의 VV의 평균값은 구의 중심에서의 값과 같다:

V(r0)=14πR2∮sphereV daV(\mathbf{r}_0) = \frac{1}{4\pi R^2} \oint_{\text{sphere}} V \, da

여기서 RR은 구의 반지름이고, 적분은 r0\mathbf{r}_0를 중심으로 한 반지름 RR인 구면 위에서 수행된다.

이 정리로부터 중요한 따름정리가 나온다: 라플라스 방정식의 해는 주어진 영역의 내부에서 극대값이나 극소값을 가질 수 없다. 즉, 최대·최소값은 반드시 경계에서 달성된다.

참고물리적 직관

평균값 정리는 정전기 퍼텐셜의 핵심 성질을 보여준다. 전하가 없는 영역에서 퍼텐셜의 한 점에서의 값은 주위의 "평균"이다. 이는 고무막이 찌그러지지 않고 팽팽하게 당겨진 상태와 유사하다 — 극값이 내부에 존재할 수 없으므로, 퍼텐셜 분포는 경계 조건에 의해 완전히 결정된다.

3. 유일성 정리 (Uniqueness Theorems)

정의2.4제1 유일성 정리

경계면 위에서 퍼텐셜 VV가 주어지면(디리클레 경계 조건), 라플라스 방정식의 해는 유일하다.

증명 개요: 두 해 V1V_1, V2V_2가 존재한다고 가정하자. W=V1−V2W = V_1 - V_2는 경계에서 W=0W = 0이고 ∇2W=0\nabla^2 W = 0을 만족한다. 그린의 제1 항등식을 적용하면:

∫V∣∇W∣2 dτ=∮SW∂W∂n da−∫VW∇2W dτ\int_{\mathcal{V}} |\nabla W|^2 \, d\tau = \oint_{\mathcal{S}} W \frac{\partial W}{\partial n} \, da - \int_{\mathcal{V}} W \nabla^2 W \, d\tau

경계에서 W=0W=0이고 부피적분의 두 번째 항도 00이므로 ∫∣∇W∣2dτ=0\int |\nabla W|^2 d\tau = 0. 따라서 ∇W=0\nabla W = 0 즉, W=constW = \text{const}이다. 경계에서 W=0W=0이므로 W≡0W \equiv 0, 곧 V1=V2V_1 = V_2.

정의2.5제2 유일성 정리

도체가 포함된 경우, 각 도체의 총 전하량이 주어지면 전기장 E\mathbf{E}는 유일하게 결정된다. 이때 각 도체 표면은 등전위면이다.

4. 좌표계별 라플라스 방정식

4.1 직교 좌표계

∂2V∂x2+∂2V∂y2+∂2V∂z2=0\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0

변수 분리법을 적용하여 V(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)V(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)로 놓으면, 각 함수는 독립적인 상미분 방정식을 만족한다.

4.2 구면 좌표계

1r2∂∂r ⁣(r2∂V∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ ⁣(sin⁡θ∂V∂θ)+1r2sin⁡2θ∂2V∂ϕ2=0\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2 \frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\sin\theta \frac{\partial V}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial^2 V}{\partial \phi^2} = 0

축 대칭(ϕ\phi 독립)인 경우 일반해는 르장드르 다항식 Pl(cos⁡θ)P_l(\cos\theta)을 이용하여 다음과 같이 전개된다:

V(r,θ)=∑l=0∞(Alrl+Blrl+1)Pl(cos⁡θ)V(r,\theta) = \sum_{l=0}^{\infty} \left( A_l r^l + \frac{B_l}{r^{l+1}} \right) P_l(\cos\theta)

4.3 원통 좌표계

1s∂∂s ⁣(s∂V∂s)+1s2∂2V∂ϕ2+∂2V∂z2=0\frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}\!\left(s \frac{\partial V}{\partial s}\right) + \frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 V}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0

변수 분리법을 적용하면, ss 방향의 해는 베셀 함수 Jn(ks)J_n(ks), Nn(ks)N_n(ks)로 표현된다.

예제접지된 도체구 근처의 점전하

반지름 RR인 접지된 도체구의 중심에서 거리 d>Rd > R에 점전하 qq를 놓은 경우, 구 외부의 퍼텐셜을 구하라.

경계 조건: V=0V = 0 on r=Rr = R, V→0V \to 0 as r→∞r \to \infty.

르장드르 전개와 경계 조건을 적용하면, 각 계수를 결정할 수 있다. 그러나 이 문제는 영상법(method of images)을 사용하면 훨씬 더 우아하게 풀린다 — 이는 다음 절에서 다룬다.

5. 그린 함수와 형식적 해

푸아송 방정식의 형식적 해는 그린 함수 G(r,r′)G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')를 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다:

V(r)=14πϵ0∫Vρ(r′)G(r,r′) d3r′−14π∮S[V(r′)∂G∂n′−G∂V∂n′]da′V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}} \rho(\mathbf{r}') G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') \, d^3 r' - \frac{1}{4\pi}\oint_{\mathcal{S}} \left[ V(\mathbf{r}') \frac{\partial G}{\partial n'} - G \frac{\partial V}{\partial n'} \right] da'

여기서 그린 함수는 다음을 만족한다:

∇′2G(r,r′)=−4πδ3(r−r′)\nabla'^2 G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = -4\pi \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}')

자유 공간에서의 그린 함수는 G0(r,r′)=1/∣r−r′∣G_0(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = 1/|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|이다. 경계 조건이 있는 경우, 적절한 경계 항을 더하여 디리클레 또는 노이만 경계 조건을 만족시킨다.

참고수치적 방법

실제 응용에서 라플라스·푸아송 방정식은 해석적으로 풀 수 없는 복잡한 기하학을 가지는 경우가 많다. 이때 유한 차분법(FDM), 유한 요소법(FEM), 경계 요소법(BEM) 등의 수치적 방법이 사용된다. 특히 유한 차분법에서 라플라시안의 이산화는 평균값 정리와 직접적으로 연결된다.