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물리학 강의 노트

개념완성

다중극 전개 (Multipole Expansion)

1. 원거리 퍼텐셜의 체계적 전개

국소적인 전하 분포에서 멀리 떨어진 점의 퍼텐셜을 체계적으로 근사하는 방법이 다중극 전개(multipole expansion)이다. 전하 분포의 크기를 dd, 관측점까지의 거리를 rr이라 하면, r≫dr \gg d일 때 d/rd/r의 거듭제곱으로 전개한다.

정의2.8다중극 전개

국소화된 전하 분포 ρ(r′)\rho(\mathbf{r}')에 의한 퍼텐셜은 원거리(r≫r′r \gg r')에서 다음과 같이 전개된다:

V(r)=14πϵ0∑l=0∞1rl+1∫(r′)lPl(cos⁡α) ρ(r′) d3r′V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\int (r')^l P_l(\cos\alpha)\,\rho(\mathbf{r}')\,d^3r'

여기서 α\alpha는 r\mathbf{r}과 r′\mathbf{r}' 사이의 각도이고, PlP_l은 르장드르 다항식이다. 이는 곧:

V(r)=14πϵ0[Qr+p⋅r^r2+12r3∑i,jQijr^ir^j+⋯ ]V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{Q}{r} + \frac{\mathbf{p}\cdot\hat{r}}{r^2} + \frac{1}{2r^3}\sum_{i,j}Q_{ij}\hat{r}_i\hat{r}_j + \cdots \right]
  • l=0l=0: 단극자(monopole) 항 — 총 전하 QQ
  • l=1l=1: 쌍극자(dipole) 항 — 쌍극자 모멘트 p\mathbf{p}
  • l=2l=2: 사중극자(quadrupole) 항 — 사중극자 모멘트 텐서 QijQ_{ij}

2. 단극자 항

Vmono(r)=14πϵ0Qr,Q=∫ρ(r′) d3r′V_{\text{mono}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r}, \qquad Q = \int \rho(\mathbf{r}')\,d^3r'

이는 전체 전하 QQ가 원점에 집중되어 있을 때의 퍼텐셜과 동일하다. 전하 보존에 의해 QQ는 좌표 원점의 선택에 무관하다.

3. 쌍극자 항

정의2.9전기 쌍극자 모멘트

전하 분포의 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)는 다음과 같이 정의된다:

p=∫r′ρ(r′) d3r′\mathbf{p} = \int \mathbf{r}' \rho(\mathbf{r}')\,d^3r'

이산적 전하 분포의 경우:

p=∑iqiri\mathbf{p} = \sum_i q_i \mathbf{r}_i

쌍극자 항에 의한 퍼텐셜:

Vdip(r)=14πϵ0p⋅r^r2V_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{r}}{r^2}
참고쌍극자 모멘트의 좌표 의존성

총 전하 Q≠0Q \neq 0인 경우, 쌍극자 모멘트는 좌표 원점의 선택에 의존한다. 원점을 a\mathbf{a}만큼 이동하면 p′=p−Qa\mathbf{p}' = \mathbf{p} - Q\mathbf{a}. 그러나 Q=0Q = 0이면 p\mathbf{p}는 좌표 독립이다. 일반적으로, 다중극 전개에서 사라지지 않는 첫 번째 항은 좌표 원점의 선택에 무관하다.

예제순수 쌍극자의 전기장

zz축 방향의 쌍극자 p=pz^\mathbf{p} = p\hat{z}에 의한 전기장:

V=pcos⁡θ4πϵ0r2V = \frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}E=−∇V=p4πϵ0r3(2cos⁡θ r^+sin⁡θ θ^)\mathbf{E} = -\nabla V = \frac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3}(2\cos\theta\,\hat{r} + \sin\theta\,\hat{\theta})

좌표 독립적 표현:

Edip(r)=14πϵ01r3[3(p⋅r^)r^−p]\mathbf{E}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^3}\left[3(\mathbf{p}\cdot\hat{r})\hat{r} - \mathbf{p}\right]

이 전기장은 r−3r^{-3}에 비례하여 단극자 전기장(r−2r^{-2})보다 빠르게 감소한다.

4. 사중극자 항

정의2.10전기 사중극자 모멘트 텐서

전기 사중극자 모멘트 텐서(electric quadrupole moment tensor)의 성분은:

Qij=∫(3ri′rj′−r′2δij)ρ(r′) d3r′Q_{ij} = \int (3r'_i r'_j - r'^2 \delta_{ij})\rho(\mathbf{r}')\,d^3r'

이 텐서는 대칭(Qij=QjiQ_{ij} = Q_{ji})이고 대각합이 0(tr Q=0\text{tr}\,Q = 0, traceless)이다. 따라서 독립 성분은 5개이다.

사중극자 항에 의한 퍼텐셜:

Vquad(r)=14πϵ012r3∑i,jQijr^ir^jV_{\text{quad}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{2r^3}\sum_{i,j}Q_{ij}\hat{r}_i\hat{r}_j

이 항은 r−3r^{-3}에 비례하여 감소한다.

5. 구면 조화 함수를 이용한 전개

보다 일반적인 형태는 구면 조화 함수 Ylm(θ,ϕ)Y_l^m(\theta,\phi)를 사용한다:

V(r)=14πϵ0∑l=0∞∑m=−ll4π2l+1qlmrl+1Ylm(θ,ϕ)V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}\frac{4\pi}{2l+1}\frac{q_{lm}}{r^{l+1}}Y_l^m(\theta,\phi)

여기서 다중극 모멘트는:

qlm=∫(r′)lYlm∗(θ′,ϕ′)ρ(r′) d3r′q_{lm} = \int (r')^l Y_l^{m*}(\theta',\phi')\rho(\mathbf{r}')\,d^3r'
참고다중극 전개의 물리적 의미

다중극 전개는 전하 분포의 "형태"를 체계적으로 분류한다:

  • 단극자: 총 전하량 — "얼마나 많은 전하가 있는가"
  • 쌍극자: 전하의 비대칭적 분리 — "전하가 어느 방향으로 치우쳐 있는가"
  • 사중극자: 전하의 이차적 비등방성 — "전하 분포가 구형에서 얼마나 벗어나는가"
  • 차수가 올라갈수록 더 세밀한 공간적 구조를 반영하며, 원거리에서의 기여는 r−(l+1)r^{-(l+1)}로 빠르게 감소한다.

6. 외부 전기장 속의 다중극자

균일하지 않은 외부 전기장 Eext(r)\mathbf{E}_{\text{ext}}(\mathbf{r}) 속에 놓인 전하 분포가 받는 에너지:

U=qV(r0)−p⋅E(r0)−16∑i,jQij∂Ej∂xi∣r0+⋯U = qV(\mathbf{r}_0) - \mathbf{p}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}_0) - \frac{1}{6}\sum_{i,j}Q_{ij}\frac{\partial E_j}{\partial x_i}\bigg|_{\mathbf{r}_0} + \cdots

이로부터 쌍극자에 작용하는 힘과 토크:

F=∇(p⋅E),τ=p×E\mathbf{F} = \nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}), \qquad \boldsymbol{\tau} = \mathbf{p}\times\mathbf{E}
예제이산 전하 분포의 다중극 모멘트

정사각형의 꼭짓점에 번갈아 +q+q, −q-q, +q+q, −q-q가 놓여 있을 때(한 변의 길이 aa, 중심이 원점):

  • 단극자 모멘트: Q=+q−q+q−q=0Q = +q - q + q - q = 0
  • 쌍극자 모멘트: 대칭성에 의해 p=0\mathbf{p} = \mathbf{0}
  • 사중극자 모멘트: Qxy=Qyx=3qa2Q_{xy} = Q_{yx} = 3qa^2 (비대각 성분이 살아남음)

따라서 이 전하 배치의 원거리 퍼텐셜은 사중극자 항이 지배하며 r−3r^{-3}으로 감소한다.