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물리학 강의 노트

유도완성

다중극 전개 유도 (Multipole Expansion Derivation)

1. 출발점: 쿨롱 퍼텐셜

유도다중극 전개의 유도

국소화된 전하 분포 ρ(r′)\rho(\mathbf{r}')에 의한 퍼텐셜은 다음과 같다:

V(r)=14πϵ0∫ρ(r′)∣r−r′∣ d3r′V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d^3r'

핵심은 ∣r−r′∣−1|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^{-1}을 r′/rr' / r 의 거듭제곱으로 전개하는 것이다.

단계 1: 1/∣r−r′∣1/|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|의 전개

r\mathbf{r}과 r′\mathbf{r}' 사이의 각도를 α\alpha라 하자. 코사인 법칙에 의해:

∣r−r′∣2=r2+r′2−2rr′cos⁡α|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2 = r^2 + r'^2 - 2rr'\cos\alpha

따라서:

1∣r−r′∣=1r11−2(r′/r)cos⁡α+(r′/r)2\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = \frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1 - 2(r'/r)\cos\alpha + (r'/r)^2}}

ϵ=r′/r\epsilon = r'/r로 놓으면:

1∣r−r′∣=1r11−2ϵcos⁡α+ϵ2\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = \frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1 - 2\epsilon\cos\alpha + \epsilon^2}}

단계 2: 르장드르 다항식의 생성 함수

르장드르 다항식의 생성 함수(generating function)는 정확히 다음을 만족한다:

11−2xt+t2=∑l=0∞Pl(x) tl(∣t∣<1)\frac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^2}} = \sum_{l=0}^{\infty} P_l(x)\,t^l \qquad (|t| < 1)

t=ϵ=r′/rt = \epsilon = r'/r, x=cos⁡αx = \cos\alpha로 대입하면 (r>r′r > r'일 때):

1∣r−r′∣=1r∑l=0∞(r′r)lPl(cos⁡α)=∑l=0∞(r′)lrl+1Pl(cos⁡α)\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = \frac{1}{r}\sum_{l=0}^{\infty}\left(\frac{r'}{r}\right)^l P_l(\cos\alpha) = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(r')^l}{r^{l+1}}P_l(\cos\alpha)

단계 3: 퍼텐셜에 대입

이를 퍼텐셜 표현에 대입하면:

V(r)=14πϵ0∑l=0∞1rl+1∫(r′)lPl(cos⁡α) ρ(r′) d3r′V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\int (r')^l P_l(\cos\alpha)\,\rho(\mathbf{r}')\,d^3r'

이것이 다중극 전개의 일반형이다.

단계 4: 처음 세 항의 명시적 형태

P0(cos⁡α)=1P_0(\cos\alpha) = 1, P1(cos⁡α)=cos⁡αP_1(\cos\alpha) = \cos\alpha, P2(cos⁡α)=12(3cos⁡2α−1)P_2(\cos\alpha) = \frac{1}{2}(3\cos^2\alpha - 1)을 대입한다.

l=0l = 0 (단극자):

V0=14πϵ01r∫ρ(r′) d3r′=Q4πϵ0rV_0 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}\int\rho(\mathbf{r}')\,d^3r' = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}

l=1l = 1 (쌍극자): r′cos⁡α=r′⋅r^r'\cos\alpha = \mathbf{r}'\cdot\hat{r}이므로

V1=14πϵ01r2∫r′cos⁡α ρ(r′) d3r′=14πϵ0r^⋅pr2V_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\int r'\cos\alpha\,\rho(\mathbf{r}')\,d^3r' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\hat{r}\cdot\mathbf{p}}{r^2}

여기서 p=∫r′ρ(r′) d3r′\mathbf{p} = \int\mathbf{r}'\rho(\mathbf{r}')\,d^3r'는 쌍극자 모멘트.

l=2l = 2 (사중극자):

V2=14πϵ01r3∫(r′)212(3cos⁡2α−1)ρ(r′) d3r′V_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^3}\int (r')^2 \frac{1}{2}(3\cos^2\alpha - 1)\rho(\mathbf{r}')\,d^3r'

cos⁡α=r^⋅r^′\cos\alpha = \hat{r}\cdot\hat{r}'를 이용하여 성분으로 전개하면:

3cos⁡2α−1=3(r^⋅r^′)2−1=∑i,jr^ir^j(3r^i′r^j′−δij)3\cos^2\alpha - 1 = 3(\hat{r}\cdot\hat{r}')^2 - 1 = \sum_{i,j}\hat{r}_i\hat{r}_j(3\hat{r}'_i\hat{r}'_j - \delta_{ij})

따라서:

V2=14πϵ012r3∑i,jr^ir^j∫(3ri′rj′−r′2δij)ρ(r′) d3r′=14πϵ012r3∑i,jQijr^ir^jV_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{2r^3}\sum_{i,j}\hat{r}_i\hat{r}_j\int(3r'_i r'_j - r'^2\delta_{ij})\rho(\mathbf{r}')\,d^3r' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{2r^3}\sum_{i,j}Q_{ij}\hat{r}_i\hat{r}_j

여기서 Qij=∫(3ri′rj′−r′2δij)ρ d3r′Q_{ij} = \int(3r'_ir'_j - r'^2\delta_{ij})\rho\,d^3r'는 비대각합 사중극자 모멘트 텐서이다.

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2. 구면 조화 함수를 이용한 정밀한 유도

유도덧셈 정리를 이용한 구면 조화 전개

르장드르 다항식에 대한 덧셈 정리(addition theorem)는:

Pl(cos⁡α)=4π2l+1∑m=−llYlm∗(θ′,ϕ′)Ylm(θ,ϕ)P_l(\cos\alpha) = \frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^{l}Y_l^{m*}(\theta',\phi')Y_l^m(\theta,\phi)

여기서 (θ,ϕ)(\theta,\phi)와 (θ′,ϕ′)(\theta',\phi')는 각각 r\mathbf{r}과 r′\mathbf{r}'의 구면 좌표이다.

이를 일반적인 전개에 대입하면:

1∣r−r′∣=∑l=0∞∑m=−ll4π2l+1(r′)lrl+1Ylm∗(θ′,ϕ′)Ylm(θ,ϕ)\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}\frac{4\pi}{2l+1}\frac{(r')^l}{r^{l+1}}Y_l^{m*}(\theta',\phi')Y_l^m(\theta,\phi)

퍼텐셜은:

V(r)=14πϵ0∑l=0∞∑m=−ll4π2l+1qlmrl+1Ylm(θ,ϕ)V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}\frac{4\pi}{2l+1}\frac{q_{lm}}{r^{l+1}}Y_l^m(\theta,\phi)

여기서 구면 다중극 모멘트:

qlm=∫(r′)lYlm∗(θ′,ϕ′)ρ(r′) d3r′q_{lm} = \int (r')^l Y_l^{m*}(\theta',\phi')\rho(\mathbf{r}')\,d^3r'

이 표현은 축 대칭이 아닌 임의의 전하 분포에도 적용 가능하다.

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3. 수렴성 분석

참고전개의 수렴 조건

다중극 전개가 수렴하기 위해서는 r>rmax⁡′r > r'_{\max}, 즉 관측점이 전하 분포를 완전히 포함하는 최소 구 바깥에 있어야 한다. 이 조건이 만족되면 ∣r′/r∣<1|r'/r| < 1이므로 르장드르 급수가 절대적으로 수렴한다.

전하 분포 근처(r∼rmax⁡′r \sim r'_{\max})에서는 수렴이 느리며, 전하 분포 내부(r<rmax⁡′r < r'_{\max})에서는 발산한다. 내부 영역에 대해서는 rr과 r′r'의 역할을 바꾼 내부 전개를 사용해야 한다:

1∣r−r′∣=∑l=0∞rl(r′)l+1Pl(cos⁡α)(r<r′)\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{r^l}{(r')^{l+1}}P_l(\cos\alpha) \qquad (r < r')

4. 검증: 물리적 쌍극자

예제물리적 쌍극자에서의 순수 쌍극자 극한

거리 dd만큼 떨어진 +q+q와 −q-q로 이루어진 물리적 쌍극자를 생각하자. +q+q는 (0,0,d/2)(0,0,d/2)에, −q-q는 (0,0,−d/2)(0,0,-d/2)에 있다.

정확한 퍼텐셜:

V=q4πϵ0(1r+−1r−)V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{r_+} - \frac{1}{r_-}\right)

다중극 전개를 적용하면:

  • 단극자: Q=q+(−q)=0Q = q + (-q) = 0 — 사라진다.
  • 쌍극자: p=q(d/2)z^+(−q)(−d/2)z^=qdz^\mathbf{p} = q(d/2)\hat{z} + (-q)(-d/2)\hat{z} = qd\hat{z} — V1=qdcos⁡θ4πϵ0r2V_1 = \frac{qd\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}
  • 사중극자 이상: O(d2/r3)O(d^2/r^3) — d/r→0d/r \to 0에서 사라진다.

순수 쌍극자 극한: d→0d \to 0, q→∞q \to \infty이되 p=qdp = qd를 유한하게 유지하면, 사중극자 이상의 모든 항이 사라지고 순수 쌍극자 퍼텐셜만 남는다:

V=pcos⁡θ4πϵ0r2V = \frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}

이는 다중극 전개의 타당성을 확인해 준다.