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물리학 강의 노트

개념완성

자기장 (Magnetic Field)

1. 로런츠 힘과 자기장의 정의

정의3.1로런츠 힘

속도 v\mathbf{v}로 운동하는 전하 qq가 전기장 E\mathbf{E}와 자기장 B\mathbf{B} 속에서 받는 힘은:

F=q(E+v×B)\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})

자기력 FB=qv×B\mathbf{F}_B = q\mathbf{v}\times\mathbf{B}는 항상 속도에 수직이므로 일을 하지 않는다:

dWdt=FB⋅v=q(v×B)⋅v=0\frac{dW}{dt} = \mathbf{F}_B \cdot \mathbf{v} = q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v} = 0

따라서 자기력은 입자의 운동 에너지를 변화시키지 않고, 운동 방향만 변화시킨다.

2. 전류와 전류 밀도

정의3.2전류 밀도

전류 밀도(current density) J\mathbf{J}는 단위 면적당 전하 흐름률로 정의된다:

J=ρv\mathbf{J} = \rho\mathbf{v}

여기서 ρ\rho는 이동 전하의 체적 전하 밀도, v\mathbf{v}는 표류 속도(drift velocity)이다.

단면적 dad\mathbf{a}를 통과하는 전류:

dI=J⋅dadI = \mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}

도선을 흐르는 선전류, 면 위를 흐르는 면전류에 대해서는 각각 선전류 밀도 II(A)와 면전류 밀도 K\mathbf{K}(A/m)를 사용한다:

K=σsv,I=λv\mathbf{K} = \sigma_s\mathbf{v}, \qquad I = \lambda v

여기서 σs\sigma_s는 면전하 밀도, λ\lambda는 선전하 밀도이다.

3. 자기장의 기본 성질

정의3.3자기장의 발산과 회전

정자기학에서 자기장 B\mathbf{B}는 다음 두 방정식을 만족한다:

∇⋅B=0(자기 단극자 부재)\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \qquad \text{(자기 단극자 부재)}∇×B=μ0J(앙페르 법칙의 미분형)\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} \qquad \text{(앙페르 법칙의 미분형)}

첫 번째 식은 자기 단극자(magnetic monopole)가 존재하지 않음을 의미한다. 자기력선은 항상 닫힌 곡선이다.

두 번째 식은 자기장의 원천이 전류임을 나타낸다.

4. 균일한 자기장 속의 하전 입자 운동

예제사이클로트론 운동

균일한 자기장 B=Bz^\mathbf{B} = B\hat{z} 속에서 전하 qq, 질량 mm인 입자의 운동방정식:

mdvdt=qv×Bm\frac{d\mathbf{v}}{dt} = q\mathbf{v}\times\mathbf{B}

zz 방향 속도 vzv_z는 일정하고, xyxy 평면에서의 운동은 원운동이다:

rc=mv⊥∣q∣B(사이클로트론 반지름)r_c = \frac{mv_\perp}{|q|B} \qquad \text{(사이클로트론 반지름)}ωc=∣q∣Bm(사이클로트론 각진동수)\omega_c = \frac{|q|B}{m} \qquad \text{(사이클로트론 각진동수)}

전체 궤적은 나선형(helical) 운동이 된다. 주목할 점은 사이클로트론 진동수 ωc\omega_c가 입자의 속력에 무관하다는 것이다 — 이것이 사이클로트론 가속기의 원리이다.

5. 전류가 받는 자기력

정의3.4전류에 작용하는 힘

자기장 속에서 전류가 받는 힘은 로런츠 힘으로부터 유도된다.

선전류: 자기장 B\mathbf{B} 속의 전류 II가 흐르는 도선이 받는 힘:

F=I∫dℓ×B\mathbf{F} = I\int d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}

면전류: 면전류 밀도 K\mathbf{K}에 작용하는 단위 면적당 힘:

dF=K×Bavg dad\mathbf{F} = \mathbf{K}\times\mathbf{B}_{\text{avg}}\,da

체적전류: 체적전류 밀도 J\mathbf{J}에 작용하는 단위 부피당 힘:

f=J×B\mathbf{f} = \mathbf{J}\times\mathbf{B}

6. 자기 쌍극자 모멘트

정의3.5자기 쌍극자 모멘트

전류 고리의 자기 쌍극자 모멘트(magnetic dipole moment)는 다음과 같이 정의된다:

m=I∫da=IAn^\mathbf{m} = I\int d\mathbf{a} = IA\hat{n}

여기서 AA는 고리의 면적이고, n^\hat{n}은 전류의 오른손 법칙에 의한 법선 벡터이다.

자기장 속에서 자기 쌍극자가 받는 토크:

τ=m×B\boldsymbol{\tau} = \mathbf{m}\times\mathbf{B}

비균일한 자기장에서의 힘:

F=∇(m⋅B)\mathbf{F} = \nabla(\mathbf{m}\cdot\mathbf{B})

자기 쌍극자의 위치 에너지:

U=−m⋅BU = -\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}
참고자기장은 보존력이 아니다

자기력이 일을 하지 않음에도 불구하고, F=∇(m⋅B)\mathbf{F} = \nabla(\mathbf{m}\cdot\mathbf{B})라는 표현이 퍼텐셜 에너지를 암시하는 것은 모순처럼 보일 수 있다. 이 식은 쌍극자가 강체(rigid)이고 m\mathbf{m}이 고정된 경우에 유효하다. 실제로는 자기장이 변하면 유도 기전력이 발생하여 전류(따라서 m\mathbf{m})가 변하게 되므로, 전체적인 에너지 보존을 위해서는 전원이 해주는 일도 고려해야 한다.